1) Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.

Sübut

ABC" ixtiyari üçbucaq olsun. B təpəsində AC düz xəttinə paralel düz xətt çəkək (belə düz xətt Evklid düz xətti adlanır). Üzərində D nöqtəsini qeyd edin ki, A və D nöqtələri üzərində olsun. DBC və ACB düz xəttinin əks tərəfləri, AC və BD paralel xətləri ilə eninə BC ilə əmələ gələn daxili kimi bərabərdir ABD bucağı Üçbucağın hər üç bucağının cəmi ABD və BAC bucaqlarının cəminə bərabərdir.
2) Verilmiş təpədə üçbucağın xarici bucağı bu təpədə üçbucağın bucağına bitişik olan bucaqdır.

Teorem: Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın ona bitişik olmayan iki bucağının cəminə bərabərdir.

Sübut. ABC verilmiş üçbucaq olsun. Üçbucaqda bucaqların cəminə dair teoremlə
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
bu nəzərdə tutur
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Teorem sübut edilmişdir.

Teoremdən belə çıxır:
Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın ona bitişik olmayan istənilən bucağından böyükdür.
3) Üçbucağın bucaqlarının cəmi = 180 dərəcə. Bucaqlardan biri düzdürsə (90 dərəcə) digər ikisi də 90. Bu o deməkdir ki, onların hər biri 90-dan kiçikdir, yəni itidir. bucaqlardan biri kütdürsə, digər ikisi 90-dan kiçikdir, yəni aydın itidir.
4) küt - 90 dərəcədən çox
kəskin - 90 dərəcədən az
5) a. Bucaqlarından birinin 90 dərəcə olduğu üçbucaq.
b. Ayaqlar və hipotenuza
6) 6°. Hər üçbucaqda daha böyük bucaq böyük tərəfin qarşısında və əksinə yerləşir: əksinə daha böyük bucaq böyük tərəfi yerləşir. İstənilən seqmentin bir və yalnız bir orta nöqtəsi var.
7) Pifaqor teoreminə görə: hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir, yəni hipotenuza ayaqların hər birindən böyükdür.
8) --- 7 ilə eynidir
9) Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir. üçbucağın hər tərəfi olsaydı nə olardı məbləğindən artıqdır digər iki tərəf, onda bucaqların cəmi 180-dən böyük olardı, bu qeyri-mümkündür. Buna görə də üçbucağın hər tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir.
10) İstənilən üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.
Bu üçbucaq düzbucaqlı olduğundan onun bucaqlarından biri düzdür, yəni 90 dərəcəyə bərabərdir.
Beləliklə, digər ikisinin cəmi kəskin künclər 180-90=90 dərəcəyə bərabərdir.
11) 1. A bucağın düz bucaq, B bucağı = 30 dərəcə və C bucağı = 60 olan ABC düzbucağını nəzərdən keçirək. ABC üçbucağına bərabər ABD üçbucağını birləşdirək. B bucağı = bucaq D = 60 dərəcə, buna görə də DC = BC olan BCD üçbucaqlarını alırıq. Amma konstruksiyaya görə AC 1/2 BC-dir ki, bunu sübut etmək lazım idi.2. Düzbucaqlı üçbucağın ayağı hipotenuzanın yarısına bərabərdirsə, bu ayağın qarşısındakı bucaq 30 dərəcəyə bərabərdir. ABC üçbucağına bərabər ABD üçbucağı əlavə edək. BCD bərabərtərəfli üçbucağını alır. Bərabər tərəfli üçbucağın bucaqları bir-birinə bərabərdir (çünki bərabər bucaqlar bərabər tərəflərin əksinə yerləşir), buna görə də onların hər biri = 60 dərəcədir. Ancaq DBC bucağı = 2 ABC bucağı, buna görə də ABC bucağı = 30 dərəcədir, bunun sübut edilməsi lazım idi.

Teorem. məbləğ daxili künclərüçbucağın iki düz bucağına bərabərdir.

Bir neçə ABC üçbucağını götürək (şək. 208). Onun daxili bucaqlarını 1, 2 və 3 rəqəmləri ilə işarə edək. Bunu sübut edək

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçbucağın hansısa təpəsində, məsələn, B, AC-yə paralel MN düz xəttini çəkək.

B təpəsində üç bucaq əldə etdik: ∠4, ∠2 və ∠5. Onların cəmi düz bucaqdır, ona görə də 180°-ə bərabərdir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lakin ∠4 = ∠1 paralel MN və AC xətləri və kəsik AB olan daxili çarpaz bucaqlardır.

∠5 = ∠3 - bunlar MN və AC paralel xətləri və BC kəsişməsi olan daxili çarpaz bucaqlardır.

Bu o deməkdir ki, ∠4 və ∠5 onların bərabərləri ∠1 və ∠3 ilə əvəz edilə bilər.

Buna görə də, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem sübut edilmişdir.

2. Üçbucağın xarici bucağının xassəsi.

Teorem. Üçbucağın xarici bucağı ona bitişik olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Əslində, ABC üçbucağında (Şəkil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, həm də ∠ВСD, bu üçbucağın ∠1 və ∠2-yə bitişik olmayan xarici bucağı da 180°-ə bərabərdir. - ∠3.

Beləliklə:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Beləliklə, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Üçbucağın xarici bucağının törəmə xassəsi üçbucağın xarici bucağı haqqında əvvəllər sübut edilmiş teoremin məzmununu aydınlaşdırır, bu, yalnız üçbucağın xarici bucağının ona bitişik olmayan üçbucağın hər bir daxili bucağından böyük olduğunu ifadə edirdi; indi müəyyən edilmişdir ki, xarici bucaq ona bitişik olmayan hər iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

3. Bucağı 30° olan düzbucaqlı üçbucağın xassəsi.

Teorem. Düzbucaqlı üçbucağın 30° bucaq qarşısında yerləşən ayağı hipotenuzanın yarısına bərabərdir.

ACB sağ üçbucağında B bucağı 30°-yə bərabər olsun (şək. 210). Onda onun digər kəskin bucağı 60°-yə bərabər olacaqdır.

AC ayağının AB hipotenuzunun yarısına bərabər olduğunu sübut edək. AC ayağını C düz bucağının təpəsindən kənara uzadaq və AC seqmentinə bərabər olan CM seqmentini kənara qoyaq. M nöqtəsini B nöqtəsinə birləşdirin. Yaranan üçbucaq VSM üçbucağa bərabərdir DİA ABM üçbucağının hər bucağının 60°-yə bərabər olduğunu görürük, ona görə də bu üçbucaq bərabərtərəfli üçbucaqdır.

AC ayağı AM yarısına bərabərdir və AM AB-yə bərabər olduğundan, AC ayağı AB hipotenuzunun yarısına bərabər olacaqdır.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin məqsədləri:

Təhsil:

• uşaqlarla birlikdə üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi “kəşf edin” və sübut edin;
• bu mövzuda öyrənilən materialı ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• tələbələri öyrənilən mövzu ilə bağlı tarixi materialla tanış etmək;
• dərsə daxil etməklə riyaziyyata maraq aşılamaq oyun texnologiyaları;
• həndəsi məsələlərin həllində bacarıq və bacarıqları inkişaf etdirmək;

Təhsil:

• diqqəti, yaddaşı, nitqi inkişaf etdirmək; məntiqi təfəkkür, müstəqillik;
• teoremi sübut etməyin bir neçə yolunu nəzərdən keçirin, tədqiqat elementlərindən istifadə edərək ümumiləşdirin, riyazi nitqi inkişaf etdirin;
• faktları və anlayışları müqayisə etmək və ümumiləşdirmək bacarığını inkişaf etdirmək;
• cütlərlə işləyərkən əməkdaşlığı inkişaf etdirin.

Təhsil:

• məqsədə çatmaq arzusunu inkişaf etdirmək; məsuliyyət hissi, özünə inam, komandada işləmək bacarığı;
• əzmkarlıq, qətiyyət, zəhmətkeşlik və nizam-intizam kimi xarakter xüsusiyyətlərini inkişaf etdirmək;
• rəsmləri qurarkən dəqiqlik bacarıqlarını aşılamaq;

• sinifdə insani münasibətlər formalaşdırmaq.

Avadanlıq: PC, multimedia avadanlıqları, planşetlər, iş vərəqləri ilə ev tapşırığı, karton üçbucaqlar, paylama materialları.

Tətbiq olunan təlim formaları: cəbhə, fərdi iş tələbələr və cütlərlə işləyirlər. Diqqəti və təxəyyülü aktivləşdirmək üçün oyun anları təqdim edilmişdir.

Dərsin strukturu:

1. Dərsin başlanğıcının təşkili – 2 dəq.
2. Dərsin məqsədlərinin müəyyən edilməsi – 1 dəq.
3. Dərsin əsas mərhələsinə hazırlıq -5 dəq.
4. Əvvəllər öyrənilmiş materialın yenilənməsi – 4 dəq.
5. Yeni materiala giriş – 10 dəq
6. Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi – 1 dəq
7. Anlamanın ilkin yoxlanışı – 5 dəq.
8. Biliyin assimilyasiyası. Problemin həlli – 13 dəq.
9. Dərsi yekunlaşdırmaq. Refeksiya – 2 dəq.
10. Haqqında məlumat ev tapşırığı- 2 dəqiqə.

Dərslər zamanı

1. Təşkilati məqam.

salamlar. Şagirdlərin dərsə hazırlığının yoxlanılması. Lövhədə dərsin mövzusu və sözü var:

...Həqiqət insanlar üçün aydın olduğu kimi,
O iki axmaq insan üçbucağa sığmaz.
Dante A.

2. Dərsin məqsədlərinin müəyyən edilməsi.

Uşaqlar, sizcə bu dərsdə hansı fiqur müzakirə olunacaq? Dərsin məqsədləri hansılardır?

• üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi “kəşf etmək” və sübut etmək;
• əldə edilmiş biliklərdən istifadə edərək problemlərin həllini öyrətmək.

3. Dərsin əsas mərhələsinə hazırlıq.

Üçbucağın tərifini tərtib edin. (Üçbucaq eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtədən və bu nöqtələri cüt-cüt birləşdirən seqmentlərdən əmələ gələn həndəsi fiqurdur.)

Üçbucağın elementlərini adlandırın. (Bucaqlar, tərəflər, təpələr.)

Yan tərəflərdəki üçbucaqların adlarını verin. (Bərabərtərəfli, ikitərəfli, skalen.)

Şagirdlərdən biri müəllimin stolunda hazırlanmış və yatan sinif üçbucaqlarını seçir və göstərir.

Üçbucaqlar bucaqlarına görə də fərqlənir. Üçbucaqları bucaqlarına görə adlandırmağa çalışaq. (Başqa bir şagird seçir: iti, küt və düz üçbucaqlar.)

Bəzi suallara cavab verək:

Üçbucaq ola bilər:

1. iki düz bucaq;
2. iki küt bucaq;
3. bir düz bucaq və bir küt bucaq?

Bir şagird lövhəyə çağırılır və aşağıdakı rəsmləri yerinə yetirir:

Sonra "kollektiv müzakirə" gəlir. Qurulmuş şüalar kəsişmir, yəni üçbucaq işləməyəcəkdir. Birinci halda birtərəfli bucaqların cəmi 180°-ə bərabərdir, ikinci və üçüncü hallarda isə 180°-dən böyükdür. Birinci halda xətlər paraleldir, ikinci və üçüncü hallarda isə xətlər ayrılır. Nəticə çıxarırıq: üçbucaqların iki düz xətti və iki küt xətti ola bilməz. Həmçinin, üçbucağın eyni anda bir ensiz və bir düz bucağı ola bilməz. Slayd 3.

Yenidən üçbucaq modellərinə baxaq və nəticə çıxaraq: düzbucaqlı üçbucaqda bir bucaq düz və iki bucaq iti, küt üçbucaqda bir bucaq küt və iki iti, iti üçbucaqda bütün bucaqlar iti olur. Ancaq nəzəri olaraq, üçbucağın bucaqlarının cəminin nə olduğunu bilməyincə bu suala cavab verə bilmərik.

Beləliklə, biz üçbucaq haqqında çox şey bilirik. Sizcə hər hansı üçbucağın bucaqlarının cəmi neçədir? (Cavabları dinləyin). Praktiki işlərlə fərziyyələrinizin doğru olub olmadığını yoxlayaq.

Praktik iş(bilik və özünü bilik bacarıqlarının yenilənməsinə kömək edir). (Cüt işləmək.) Slayd 4-5.

Hər birinizin masanızda bir üçbucaq var müxtəlif rənglər. Uşaqlar, biz 5-ci sinifdə bucaqları iletki vasitəsi ilə ölçdük və onların cəmini tapdıq. Bucaqların cəmi hər kəs üçün fərqli idi (bu, iletki düzgün tətbiq olunmadığı, hesablama diqqətsiz aparıldığı və s. səbəbindən baş verə bilər).

Mən üçbucağın bucaqlarının cəmini iki başqa yolla tapmağı təklif edirəm: masanızda olan üçbucaqları götürün. Onlar sarı və ya çəhrayıdır. Üçbucağın bucaqlarını 1, 2, 3 rəqəmləri ilə etiketləyin.

Sarı üçbucaqlı şagirdlər: üçbucağın iki küncünü qoparıb üçüncü küncün yanlarına yapışdırın ki, bütün təpələr eyni nöqtədə olsun. Üçbucağın bütün bucaqlarının birləşərək düz bucaq əmələ gətirdiyini müşahidə edirik.

Çəhrayı üçbucaq şagirdləri: Küncləri üçbucağın içərisinə qatlayın. Qeyd edək ki, üçbucaq əvvəlcə əyiləcəyimiz bucağın tərəfinə paralel düz xətt boyunca əyilməlidir və bu bucaq bu tərəfə toxunmalıdır. Üçbucağın bütün bucaqlarının birləşərək düz bucaq əmələ gətirdiyini müşahidə edirik.

İnkişaf etmiş bucağın dərəcə ölçüsü nədir?

Hansı nəticəyə gəldik?

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.

Praktik işi bitirdikdən sonra müəyyən etdik ki, üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.

Riyaziyyatda praktiki iş Bu, yalnız bir növ bəyanat verməyə imkan verir, lakin bunun sübuta yetirilməsi lazımdır. Etibarlılığı sübutla müəyyən edilən müddəaya teorem deyilir.

Hansı teoremi sübut etməliyik?

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.

4. Şagirdlərin yeni biliklərin fəal və şüurlu mənimsənilməsinə hazırlıq mərhələsi.

Slayd 6-7.

Bu teoremi sübut etməzdən əvvəl iki məsələni şifahi həll edək;

5. Yeni bilik, bacarıq, bacarıqların mənimsənilməsi mərhələsi.

Slayd 8-9

(Üç mümkün sübut üsulu var.)

Teoremin sübutu(əvvəllər öyrənilmiş materialdan istifadə edərək təhlil etmək, ümumiləşdirmək və məntiqi nəticələr çıxarmaq bacarığını inkişaf etdirir).

Bir şagird lövhədə bir teoremi sübut edir, yol boyu etdiyi hərəkətləri şərh edir. Qalan şagirdlər öz dəftərlərində işləyirlər. Qeyri-dəqiqlik olduqda müəllim düzəlişlər edir.

Müəllim: Bizə nə verildi?

Şagird: Üçbucaq verilir.

Müəllim: Dəftərlərinizdə ixtiyari üçbucaq qurun və onun təpələrini A, B və C ilə qeyd edin. Nəyi sübut etmək lazımdır?

Şagird: Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.

Verilmiş: ∆ ABC Sübut edin: A+B+C=180° Sübut planı: 1) B təpəsi vasitəsilə DE || xətti çəkirik A.C. 2) 4 =1, 5 = 3 olduğunu sübut edin 3) Sübut edin ki, 4+2+5=180° olarsa, onda 1+2+3=180° və ya ∆ ABC A+B+C=180° olar.

Lakin bu sübut üsulu yeganə deyil. İlk sübutu Pifaqor (e.ə. 5-ci əsr) vermişdi, Evklid Elementlərin birinci kitabında üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremin başqa bir sübutunu ortaya qoyur. Slayd 10.

Uşaqlar şifahi şəkildə sübut edirlər:

Sübut: 1) B təpəsi vasitəsilə BD|| şüasını çəkirik AC. 2) 4 və 3 - BD||AC altında çarpaz uzanmış və BC sekant. 3) BD|| AC və AB kəsicidir, onda 1+ABD=180° birtərəfli bucaqlardır. 4) sonra 1+2+4=180°, 4=3 olduğundan, sonra 1+2+3=180° və ya A+B+C=180°

Bu teoremi evdə Pifaqorun tələbələrinin çəkdiyi rəsmdən istifadə edərək sübut etməyə çalışın. (Uşaqlara ev üçün hər üç sübutun təsvirləri olan vərəq verilir.) Slayd 11.

6. Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi.

Slayd 12-14.

7. Öyrənilən materialın konsolidasiyası.

İndi teoremdən istifadə edərək, üçbucağın niyə iki düz bucaq, iki küt bucaq, biri küt, digəri isə düz olan iki bucaq ola bilmədiyini əsaslandıra bilərik.

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremdən nəticə (tələbələr tərəfindən müstəqil şəkildə alınır; bu, formalaşdırma qabiliyyətinin inkişafına kömək edir. öz nöqtəsi nöqteyi-nəzərini ifadə edin və bunun üçün mübahisə edin).

İstənilən üçbucaqda ya bütün bucaqlar iti, ya da ikisi iti, üçüncüsü isə küt və ya düzdür..

Üçbucağın bütün iti bucaqları varsa, ona deyilir kəskin bucaqlı. Üçbucağın bucaqlarından biri kütdürsə, ona deyilir ensiz bucaqlı. Üçbucağın bucaqlarından biri düzdürsə, ona deyilir düzbucaqlı.

Şifahi iş: (tabletlər) Slayd 15.

Suallara cavab verin: Slayd 16.

1. Üçbucağın bucaqlarından biri düzdürsə, qalan iki bucaq neçədir?
2. Üçbucaq düzbucaqlıdırsa, üçbucağın iti bucaqlarının cəmi neçəyə bərabərdir?
3. Üçbucağın bucaqlarından biri kütdürsə, üçbucağın digər iki bucağının cəmi neçəyə bərabərdir?

9. Ev tapşırığı.

1. Təqdimat: sübut üçün üç rəsm. ( Əlavə 1)
2. S. 30-31, səh 70, No 223(a,b), 224, 225, 230.

10. Dərsin xülasəsi.

Refleks:

Cümləni davam etdirin:

• “Bu gün dərsdə öyrəndim...”
• “Bu gün dərsdə öyrəndim...”
• “Bu gün sinifdə tanış oldum...”
• “Bu gün dərsdə təkrar etdim...”
• “Bu gün sinifdə gücləndirdim...”

“Evklid həndəsəsində hər hansı üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir” faktını sadəcə xatırlamaq olar. Xatırlamaq asan deyilsə, daha yaxşı yadda saxlamaq üçün bir neçə sınaq keçirə bilərsiniz.

Təcrübə bir

Bir kağız parçasına bir neçə ixtiyari üçbucaq çəkin, məsələn:

• ixtiyari tərəflərlə;
• ikitərəfli üçbucaq;
• düz üçbucaq.

Bir hökmdar istifadə etdiyinizə əmin olun. İndi ortaya çıxan üçbucaqları kəsməlisiniz, bunu tam olaraq çəkilmiş xətlər boyunca etməlisiniz. Hər üçbucağın künclərini rəngli qələm və ya markerlə rəngləyin. Məsələn, birinci üçbucaqda bütün künclər qırmızı, ikincidə mavi, üçüncüdə yaşıl olacaq. http://bit.ly/2gY4Yfz

Birinci üçbucaqdan bütün 3 küncü kəsin və təpələri ilə bir nöqtədə birləşdirin ki, hər küncün ən yaxın tərəfləri birləşdirilsin. Gördüyünüz kimi, üçbucağın üç küncü 180 dərəcəyə bərabər olan uzadılmış bucaq əmələ gətirdi. Digər iki üçbucaqla da eyni şeyi edin - nəticə eyni olacaq. http://bit.ly/2zurCrd

Təcrübə iki

İxtiyari ABC üçbucağını çəkin. İstənilən təpəni (məsələn, C) seçirik və onun vasitəsilə əks tərəfə (AB) paralel DE düz xətti çəkirik. http://bit.ly/2zbYNzq

Aşağıdakıları alırıq:

1. BAC və ACD bucaqları AC-yə perpendikulyar olan daxili bucaqlara bərabərdir;
2. ABC və BCE bucaqları BC-yə perpendikulyar olan daxili bucaqlara bərabərdir;
3. 1, 2 və 3 bucaqlarının 180 dərəcəyə bərabər olan inkişaf etmiş DCE bucağı yaratmaq üçün bir nöqtədə birləşdirilən üçbucağın bucaqları olduğunu görürük.

Üçbucağın bucağı cəmi teoremi hər hansı üçbucağın bütün daxili bucaqlarının cəminin 180° olduğunu bildirir.

Üçbucağın daxili bucaqları a, b və c olsun, onda:

a + b + c = 180°.

Bu nəzəriyyədən belə nəticəyə gələ bilərik ki, istənilən üçbucağın bütün xarici bucaqlarının cəmi 360°-ə bərabərdir. Xarici bucaq daxili bucağa bitişik olduğundan, onların cəmi 180°-dir. Üçbucağın daxili bucaqları a, b və c olsun, onda bu bucaqlardakı xarici bucaqlar 180° - a, 180° - b və 180° - c olsun.

Üçbucağın xarici bucaqlarının cəmini tapaq:

180 ° - a + 180 ° - b + 180 ° - c = 540 ° - (a + b + c) = 540 ° - 180 ° = 360 °.

Cavab: üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-dir; üçbucağın xarici bucaqlarının cəmi 360°-dir.

İlkin məlumat

Əvvəlcə üçbucaq anlayışına birbaşa baxaq.

Tərif 1

Biz bunu üçbucaq adlandıracağıq həndəsi fiqur seqmentlərlə birləşdirilmiş üç nöqtədən ibarət olan , (şək. 1).

Tərif 2

1-ci tərif çərçivəsində nöqtələri üçbucağın təpələri adlandıracağıq.

Tərif 3

1-ci tərif çərçivəsində seqmentlər üçbucağın tərəfləri adlanacaq.

Aydındır ki, istənilən üçbucağın 3 təpəsi, həmçinin üç tərəfi olacaqdır.

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teorem

Üçbucaqlarla bağlı əsas teoremlərdən birini, yəni üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi təqdim edək və sübut edək.

Teorem 1

İstənilən ixtiyari üçbucaqda bucaqların cəmi $180^\circ$-dır.

Sübut.

$EGF$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Bu üçbucağın bucaqlarının cəminin $180^\circ$-a bərabər olduğunu sübut edək. Əlavə konstruksiya edək: $XY||EG$ düz xəttini çəkin (şək. 2)

$XY$ və $EG$ xətləri paralel olduğundan, $∠E=∠XFE$ $FE$ kəsişməsində çarpaz, $∠G=∠YFG$ isə $FG$ kəsişməsində çarpaz şəkildə uzanır.

$XFY$ bucağı tərsinə çevriləcək və buna görə də $180^\circ$-a bərabərdir.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Beləliklə

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucağın Xarici Bucaq Teoremi

Üçbucaq üçün bucaqların cəminə dair başqa bir teorem xarici bucaq haqqında teorem sayıla bilər. Əvvəlcə bu anlayışı təqdim edək.

Tərif 4

Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın istənilən bucağına bitişik olacaq bucaq adlanacaq (şək. 3).

İndi teoremi birbaşa nəzərdən keçirək.

Teorem 2

Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın ona bitişik olmayan iki bucağının cəminə bərabərdir.

Sübut.

$EFG$ ixtiyari üçbucağını nəzərdən keçirək. $FGQ$ üçbucağının xarici bucağı olsun (şəkil 3).

Teorem 1-ə görə, biz $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ alacağıq, buna görə də,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

$FGQ$ bucağı xarici olduğundan $∠G$ bucağına bitişikdir

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorem sübut edilmişdir.

Nümunə tapşırıqlar

Misal 1

Üçbucaq bərabərtərəflidirsə, onun bütün bucaqlarını tapın.

Bərabər üçbucağın bütün tərəfləri bərabər olduğundan, onun içindəki bütün bucaqların da bir-birinə bərabər olduğunu alacağıq. Onların dərəcə ölçülərini $α$ ilə işarə edək.

Sonra 1-ci teoremlə əldə edirik

$α+α+α=180^\circ$

Cavab: bütün bucaqlar $60^\circ$-a bərabərdir.

Misal 2

Bucaqlarından biri $100^\circ$-a bərabərdirsə, ikitərəfli üçbucağın bütün bucaqlarını tapın.

İkitərəfli üçbucaqda bucaqlar üçün aşağıdakı qeydi təqdim edək:

Şərtdə $100^\circ$-ın hansı bucağın bərabər olduğu dəqiq verilmədiyi üçün iki hal mümkündür:

$100^\circ$-a bərabər olan bucaq üçbucağın təməlindəki bucaqdır.

İkitərəfli üçbucağın təməlindəki bucaqlar haqqında teoremdən istifadə edərək əldə edirik

$∠2=∠3=100^\circ$

Lakin yalnız o zaman onların cəmi $180^\circ$-dan çox olacaq, bu da Teorem 1-in şərtlərinə ziddir. Bu o deməkdir ki, bu hal baş vermir.

$100^\circ$-a bərabər olan bucaq arasındakı bucaqdır bərabər tərəflər, yəni