Üçbucağın daxili bucaqlarının cəminə dair teorem

məbləğ üçbucaq bucaqları 180°-yə bərabərdir.

Sübut:

• Verilmiş ABC üçbucağı.
• B təpəsində AC əsasına paralel DK düz xətti çəkirik.
• \angle CBK= \bucaq C daxili çarpaz olaraq paralel DK və AC və BC sekantı ilə uzanır.
• \angle DBA = \angle DK \paralel AC və AB sekantı ilə çarpaz uzanan daxili. DBK bucağı tərsinə çevrilir və bərabərdir
• \bucaq DBK = \bucaq DBA + \bucaq B + \bucaq CBK
• Açılan bucaq 180 ^\circ və \bucaq CBK = \bucaq C və \bucaq DBA = \bucaq A-ya bərabər olduğundan, alırıq. 180 ^\circ = \bucaq A + \bucaq B + \bucaq C.

Teorem sübut edilmişdir

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremdən nəticələr:

1. Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəmi bərabərdir 90°.
2. İkitərəfli düzbucaqlı üçbucaqda hər bir iti bucaq bərabərdir 45°.
3. Bərabər üçbucaqda hər bir bucaq bərabərdir 60°.
4. İstənilən üçbucaqda ya bütün bucaqlar iti, ya da iki bucaq iti, üçüncüsü isə küt və ya düzdür.
5. Üçbucağın xarici bucağı ikinin cəminə bərabərdir daxili künclər, ona bitişik deyil.

Üçbucağın Xarici Bucaq Teoremi

Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın bu xarici bucağa bitişik olmayan iki qalan bucağının cəminə bərabərdir.

Sübut:

• ABC üçbucağı verilmişdir, burada BCD xarici bucaqdır.
• \bucaq BAC + \bucaq ABC +\bucaq BCA = 180^0
• Bərabərliklərdən bucaq \bucaq BCD + \bucaq BCA = 180^0
• alırıq \bucaq BCD = \bucaq BAC+\bucaq ABC.

. (Slayd 1)

Dərs növü: yeni materialın öyrənilməsi dərsi.

Dərsin məqsədləri:

• Təhsil:
  • üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi nəzərdən keçirin,
  • məsələlərin həllində teoremin tətbiqini göstərin.
• Təhsil:
  • tələbələrin biliyə müsbət münasibətinin formalaşdırılması,
  • Dərslər vasitəsilə şagirdlərdə özünəinam hissi aşılamaq.
• İnkişaf:
  • analitik təfəkkürün inkişafı,
  • “öyrənmək bacarıqlarının” inkişafı: bilik, bacarıq və bacarıqlardan istifadə etmək təhsil prosesi,
  • inkişaf məntiqi təfəkkür, fikirlərinizi aydın şəkildə ifadə etmək bacarığı.

Avadanlıq: interaktiv lövhə, təqdimat, kartlar.

DƏRSLƏR zamanı

I. Təşkilat vaxtı

– Bu gün sinifdə sağ, ikitərəfli və bərabərtərəfli üçbucaqların təriflərini xatırlayacağıq. Üçbucaqların bucaqlarının xassələrini təkrar edək. Daxili birtərəfli və daxili çarpaz bucaqların xassələrindən istifadə edərək, üçbucağın bucaqlarının cəmi haqqında teoremi sübut edəcəyik və məsələlərin həlli zamanı onun tətbiqini öyrənəcəyik.

II. Şifahi(Slayd 2)

1) Şəkillərdə düzbucaqlı, ikitərəfli, bərabərtərəfli üçbucaqları tapın.
2) Bu üçbucaqları təyin edin.
3) Bərabər və ikitərəfli üçbucağın bucaqlarının xassələrini tərtib edin.

4) Şəkildə KE II NH. (slayd 3)

– Bu xətlər üçün sekantları təyin edin
– Daxili birtərəfli bucaqları, çarpaz uzanan daxili bucaqları tapın, xassələrini adlandırın

III. Yeni materialın izahı

Teorem.Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir

Teoremin tərtibinə görə, uşaqlar bir rəsm qurur, şərt və nəticəni yazır. Suallara cavab verərək teoremi müstəqil şəkildə sübut edirlər.

Verildi: Sübut edin:

Sübut:

1. Üçbucağın B təpəsindən BD II AC düz xətti çəkirik.
2. Paralel xətlər üçün sekantları təyin edin.
3. CBD və ACB bucaqları haqqında nə demək olar? (qeyd etmək)
4. CAB və ABD bucaqları haqqında nə bilirik? (qeyd etmək)
5. CBD bucağını ACB bucağı ilə əvəz edin
6. Nəticə çıxarın.

IV. Cümləni tamamlayın.(Slayd 4)

1. Üçbucağın bucaqlarının cəmi...
2. Üçbucağın bucaqlarından biri bərabər, digəri, üçüncü bucağı... bərabərdir.
3. Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəmi ...
4. İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın bucaqları bərabərdir...
5. Bərabəryanlı üçbucağın bucaqları bərabərdir...
6. Əgər ikitərəfli üçbucağın yan tərəfləri arasındakı bucaq 1000-dirsə, təməldəki bucaqlar bərabərdir...

V. Bir az tarix.(Slayd 5-7)

İlkin məlumat

Əvvəlcə gəlin birbaşa üçbucaq anlayışına baxaq.

Tərif 1

Bir-birinə seqmentlərlə bağlanmış üç nöqtədən ibarət olan həndəsi fiqur üçbucağı adlandıracağıq (şəkil 1).

Tərif 2

1-ci tərif çərçivəsində nöqtələri üçbucağın təpələri adlandıracağıq.

Tərif 3

1-ci tərif çərçivəsində seqmentlər üçbucağın tərəfləri adlanacaq.

Aydındır ki, istənilən üçbucağın 3 təpəsi, həmçinin üç tərəfi olacaqdır.

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teorem

Üçbucaqlarla bağlı əsas teoremlərdən birini, yəni üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi təqdim edək və sübut edək.

Teorem 1

İstənilən ixtiyari üçbucaqda bucaqların cəmi $180^\circ$-dır.

Sübut.

$EGF$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Bu üçbucağın bucaqlarının cəminin $180^\circ$-a bərabər olduğunu sübut edək. Əlavə konstruksiya aparaq: $XY||EG$ düz xəttini çəkin (şək. 2)

$XY$ və $EG$ xətləri paralel olduğundan, $∠E=∠XFE$ $FE$ kəsişməsində çarpaz, $∠G=∠YFG$ isə $FG$ kəsişməsində çarpaz şəkildə uzanır.

$XFY$ bucağı tərsinə çevriləcək və buna görə də $180^\circ$-a bərabərdir.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Beləliklə

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucağın Xarici Bucaq Teoremi

Üçbucaq üçün bucaqların cəminə dair başqa bir teorem xarici bucaq haqqında teorem sayıla bilər. Əvvəlcə bu anlayışı təqdim edək.

Tərif 4

Üçbucağın xarici bucağını üçbucağın istənilən bucağına bitişik olacaq bucaq adlandıracağıq (şək. 3).

İndi teoremi birbaşa nəzərdən keçirək.

Teorem 2

Üçbucağın xarici bucağı üçbucağın ona bitişik olmayan iki bucağının cəminə bərabərdir.

Sübut.

$EFG$ ixtiyari üçbucağını nəzərdən keçirək. $FGQ$ üçbucağının xarici bucağı olsun (şəkil 3).

Teorem 1-ə görə, biz $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ alacağıq, buna görə də,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

$FGQ$ bucağı xarici olduğundan $∠G$ bucağına bitişikdir

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorem sübut edilmişdir.

Nümunə tapşırıqlar

Misal 1

Üçbucaq bərabərtərəflidirsə, onun bütün bucaqlarını tapın.

Bərabər üçbucağın bütün tərəfləri bərabər olduğundan, onun içindəki bütün bucaqların da bir-birinə bərabər olduğunu alacağıq. Onların dərəcə ölçülərini $α$ ilə işarə edək.

Sonra 1-ci teoremlə əldə edirik

$α+α+α=180^\circ$

Cavab: bütün bucaqlar $60^\circ$-a bərabərdir.

Misal 2

Bucaqlarından biri $100^\circ$-a bərabərdirsə, ikitərəfli üçbucağın bütün bucaqlarını tapın.

İkitərəfli üçbucaqda bucaqlar üçün aşağıdakı qeydləri təqdim edək:

Şərtdə $100^\circ$-ın hansı bucağın bərabər olduğu dəqiq verilmədiyi üçün iki hal mümkündür:

$100^\circ$-a bərabər olan bucaq üçbucağın təməlindəki bucaqdır.

İkitərəfli üçbucağın təməlindəki bucaqlar haqqında teoremdən istifadə edərək əldə edirik

$∠2=∠3=100^\circ$

Lakin yalnız o zaman onların cəmi $180^\circ$-dan çox olacaq, bu da Teorem 1-in şərtlərinə ziddir. Bu o deməkdir ki, bu hal baş vermir.

$100^\circ$-a bərabər olan bucaq arasındakı bucaqdır bərabər tərəflər, yəni

Teorem. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi iki düz bucağa bərabərdir.

Bir neçə ABC üçbucağını götürək (şək. 208). Onun daxili bucaqlarını 1, 2 və 3 rəqəmləri ilə işarə edək. Bunu sübut edək

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçbucağın bəzi təpəsində, məsələn, B, AC-yə paralel MN düz xəttini çəkək.

B təpəsində üç bucaq əldə etdik: ∠4, ∠2 və ∠5. Onların cəmi düz bucaqdır, ona görə də 180°-ə bərabərdir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lakin ∠4 = ∠1 paralel MN və AC xətləri və kəsik AB olan daxili çarpaz bucaqlardır.

∠5 = ∠3 - bunlar MN və AC paralel xətləri və BC kəsişməsi olan daxili çarpaz bucaqlardır.

Bu o deməkdir ki, ∠4 və ∠5 onların bərabərləri ∠1 və ∠3 ilə əvəz edilə bilər.

Buna görə də, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem sübut edilmişdir.

2. Üçbucağın xarici bucağının xassəsi.

Teorem. Üçbucağın xarici bucağı ona bitişik olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.




Əslində, ABC üçbucağında (Şəkil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, həm də ∠ВСD, bu üçbucağın ∠1 və ∠2-yə bitişik olmayan xarici bucağı da 180°-ə bərabərdir. - ∠3.

Beləliklə:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Beləliklə, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Üçbucağın xarici bucağının törəmə xassəsi üçbucağın xarici bucağı haqqında əvvəllər sübut edilmiş teoremin məzmununu aydınlaşdırır, bu, yalnız üçbucağın xarici bucağının ona bitişik olmayan üçbucağın hər bir daxili bucağından böyük olduğunu ifadə edirdi; indi müəyyən edilmişdir ki, xarici bucaq ona bitişik olmayan hər iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

3. Bucağı 30° olan düzbucaqlı üçbucağın xassəsi.

Teorem. Düzbucaqlı üçbucağın 30° bucaq qarşısında yerləşən ayağı hipotenuzanın yarısına bərabərdir.


ACB sağ üçbucağında B bucağı 30°-yə bərabər olsun (şək. 210). Onda onun digər kəskin bucağı 60°-yə bərabər olacaqdır.



AC ayağının AB hipotenuzunun yarısına bərabər olduğunu sübut edək. AC ayağını C düz bucağının təpəsindən kənara uzadaq və AC seqmentinə bərabər olan CM seqmentini kənara qoyaq. M nöqtəsini B nöqtəsinə birləşdirək. Nəticədə yaranan VSM üçbucağı ACB üçbucağına bərabərdir. ABM üçbucağının hər bucağının 60°-yə bərabər olduğunu görürük, ona görə də bu üçbucaq bərabərtərəfli üçbucaqdır.

AC ayağı AM yarısına bərabərdir və AM AB-yə bərabər olduğundan, AC ayağı AB hipotenuzunun yarısına bərabər olacaqdır.

Məqsəd və məqsədlər:

Təhsil:

• üçbucaq haqqında bilikləri təkrarlamaq və ümumiləşdirmək;
• üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremi sübut edin;
• teoremin tərtibinin düzgünlüyünü praktiki olaraq yoxlamaq;
• problemləri həll edərkən əldə edilmiş bilikləri tətbiq etməyi öyrənin.

Təhsil:

• həndəsi təfəkkür, mövzuya maraq, idrak və inkişaf etdirmək yaradıcılıq fəaliyyəti tələbələr, riyazi nitq, müstəqil bilik əldə etmək bacarığı.

Təhsil:

• inkişaf Şəxsi keyfiyyətlər tələbələrə əzmkarlıq, əzmkarlıq, dəqiqlik, komandada işləmək bacarığı kimi.

Avadanlıq: multimedia proyektoru, rəngli kağızdan hazırlanmış üçbucaqlar, “Canlı riyaziyyat” tədris kompleksi, kompüter, ekran.

Hazırlıq mərhələsi: Müəllim şagirdə hazırlamaq tapşırığını verir tarixi məlumat“Üçbucağın bucaqlarının cəmi” teoremi haqqında.

Dərs növü: yeni material öyrənmək.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam

salamlar. Tələbələrin işə psixoloji münasibəti.

II. İstiləşmə

İLƏ həndəsi fiqurƏvvəlki dərslərdə tanış olduğumuz “üçbucaq”. Üçbucaq haqqında bildiklərimizi təkrarlayaq?

Şagirdlər qruplarda işləyirlər. Onlara bir-biri ilə ünsiyyət qurmaq, hər birinə müstəqil olaraq idrak prosesini qurmaq imkanı verilir.

Nə olub? Hər qrup öz təkliflərini verir, müəllim onları lövhəyə yazır. Nəticələr müzakirə olunur:

Şəkil 1

III. Dərsin məqsədinin formalaşdırılması

Beləliklə, biz üçbucaq haqqında çox şey bilirik. Amma hamısı deyil. Hər birinizin stolunuzda üçbucaq və iletki var. Sizcə, hansı problemi formalaşdıra bilərik?

Şagirdlər dərsin tapşırığını tərtib edirlər - üçbucağın bucaqlarının cəmini tapmaq.

IV. Yeni materialın izahı

Praktik hissə(biliklərin və özünüdərketmə bacarıqlarının yenilənməsini təşviq edir, iletki vasitəsi ilə bucaqları ölçün və onların cəmini tapın). Nəticələri dəftərinizə yazın (alınan cavabları dinləyin). Bucaqların cəminin hər kəs üçün fərqli olduğunu öyrənirik (bu, iletki düzgün tətbiq olunmadığından, hesablama ehtiyatsız aparıldığına görə baş verə bilər və s.).

Nöqtəli xətlər boyunca qatlayın və üçbucağın bucaqlarının cəminin başqa nəyə bərabər olduğunu tapın:

A)
Şəkil 2

b)
Şəkil 3

V)
Şəkil 4

G)
Şəkil 5

d)
Şəkil 6

Praktik işi yerinə yetirdikdən sonra tələbələr cavabı tərtib edirlər: Üçbucağın bucaqlarının cəmi açılmamış bucağın dərəcə ölçüsünə bərabərdir, yəni 180 °.

Müəllim: Riyaziyyatdan praktiki iş Bu, yalnız bir növ bəyanat verməyə imkan verir, lakin bunun sübuta yetirilməsi lazımdır. Etibarlılığı sübutla müəyyən edilən müddəaya teorem deyilir. Hansı teoremi tərtib edib sübut edə bilərik?

Tələbələr: Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.

Tarixi istinad:Üçbucağın bucaqlarının cəminin xassəsi quruldu Qədim Misir. Müasir dərsliklərdə verilən sübut Proklun Evklidin Elementlərinə şərhində var. Prokl iddia edir ki, bu sübut (şək. 8) Pifaqorçular (e.ə. V əsr) tərəfindən kəşf edilib. Evklid “Elementlər”in birinci kitabında üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremin daha bir sübutunu təqdim edir ki, bu da rəsmdən istifadə etməklə asanlıqla başa düşülə bilər (şək. 7):


Şəkil 7


Şəkil 8

Rəsmlər proyektor vasitəsilə ekranda göstərilir.

Müəllim təsvirlərdən istifadə edərək teoremi sübut etməyi təklif edir.

Sonra sübut "Canlı Riyaziyyat" tədris və təlim kompleksindən istifadə etməklə həyata keçirilir.. Müəllim teoremin sübutunu kompüterdə layihələndirir.

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teorem: "Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir"


Şəkil 9

Sübut:

A)

Şəkil 10

b)

Şəkil 11

V)

Şəkil 12

Şagirdlər teoremin isbatını dəftərlərində qısa qeyd edirlər:

Teorem:Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.


Şəkil 13

Verildi:Δ ABC

Sübut edin: A + B + C = 180°.

Sübut:

Nəyi sübut etmək lazım idi.

V. Fizika. bir dəqiqə.

VI. Yeni materialın izahı (davamı)

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremdən gələn nəticə tələbələr tərəfindən müstəqil olaraq çıxarılır, bu, formalaşdırmaq bacarığının inkişafına kömək edir. öz nöqtəsi nöqteyi-nəzərini ifadə edin və bunun üçün mübahisə edin:

İstənilən üçbucaqda ya bütün bucaqlar iti, ya da ikidir kəskin bucaqlar, üçüncü isə küt və ya düzdür.

Üçbucağın bütün iti bucaqları varsa, ona deyilir kəskin bucaqlı.

Üçbucağın bucaqlarından biri kütdürsə, ona deyilir ensiz bucaqlı.

Üçbucağın bucaqlarından biri düzdürsə, ona deyilir düzbucaqlı.

Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teorem üçbucaqları təkcə tərəflərə görə deyil, həm də bucaqlarına görə təsnif etməyə imkan verir. (Şagirdlər üçbucaq növlərini təqdim edərkən, tələbələr cədvəli doldururlar)

Cədvəl 1

Üçbucaq görünüşü	İzoskellər	Bərabərtərəfli	Çox yönlü
Düzbucaqlı
Kütləvi
Kəskin bucaqlı

VII. Öyrənilən materialın konsolidasiyası.

1. Problemləri şifahi şəkildə həll edin:

(Çermlər proyektor vasitəsilə ekranda göstərilir)

Tapşırıq 1. C bucağını tapın.


Şəkil 14

Məsələ 2. F bucağını tapın.


Şəkil 15

Tapşırıq 3. K və N bucaqlarını tapın.

Şəkil 16

Məsələ 4. P və T bucaqlarını tapın.


Şəkil 17

1. 223 (b, d) nömrəli məsələni özünüz həll edin.
2. Problemi lövhədə və dəftərlərdə həll edin, 224 nömrəli şagird.
3. Suallar: Üçbucaqda ola bilərmi: a) iki düz bucaq; b) iki küt bucaq; c) bir sağ və bir küt bucaq.
4. (şifahi olaraq edilir) Hər masanın üzərindəki kartlarda müxtəlif üçbucaqlar göstərilir. Hər üçbucağın növünü göz ilə müəyyənləşdirin.


Şəkil 18

1. 1, 2 və 3 bucaqlarının cəmini tapın.


Şəkil 19

VIII. Dərsin xülasəsi.

Müəllim: Nə öyrəndik? Teorem hər hansı üçbucağa tətbiq olunurmu?

IX. Refleksiya.

Mənə əhvalınızı deyin, uşaqlar! İLƏ arxa tərəfüz ifadələrinizi təsvir etmək üçün üçbucaqdan istifadə edin.


Şəkil 20

Ev tapşırığı: paraqraf 30 (1-ci hissə), sual 1 ch. Dərsliyin IV səhifəsi 89; 223 (a, c), No 225.