Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины .
Случайной называют величину , принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины - соответствующими малыми буквами латинского алфавита x , y , z и т. д.
Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью .
На практике встречаются два основных типа случайных величин:
1. Дискретные случайные величины;
2. Непрерывные случайные величины.
Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента.
Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями .
Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы :
… | … | ||||
… | … |
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .
Закон распределения можно изобразить графически : по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения .
Пример . Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.
Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X - число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “попадание при i - ом выстреле”, ;
- “промах при i - ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.
Согласно условию задачи имеем:
,
По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:
(охотник попал в цель с первого выстрела);
(охотник попал в цель со второго выстрела);
(охотник попал в цель с третьего выстрела);
(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).
Проверка: - верно.
Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:
0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Пример. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9, второй - 0,8, третий - 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.
Решение. Случайная величина X - число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “i - ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;
- “i - ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .
По условию задачи имеем:
, .
Х ; значение F (5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
Х | –28 | –20 | –12 | –4 | |
p | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х .
Выборка А : 6 9 7 6 4 4
Выборка В: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
Вариант 17.
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
Моду и медиану;
Выборка А: 0 0 2 2 1 4
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Вариант 18.
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка А : 4 7 6 3 3 4
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В : 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Вариант 19.
1. На участке работают 16 женщин и 5 мужчин. По табельным номерам отобраны наудачу 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».
3. Слово «ПСИХОЛОГИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПОСОХ.
4. В урне содержится 6 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 30 и не более 40 раз в серии из 50 испытаний.
6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
7. В первой урне 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 8 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 4 чёрных шара.
8. В салон по продаже автомобилей ежедневно поступают автомобили трёх марок в объёмах: «Москвич» – 40%; «Ока» – 20%; «Волга» – 40% от всех привезённых машин. Среди машин марки «Москвич» 0,5% имеют противоугонное устройство, «Ока» – 0,01%, «Волга» – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая для проверки машина имеет противоугонное устройство.
9. На отрезке наудачу выбраны числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .
10. Дан закон распределения случайной величины Х :
Х | ||||
p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Найти функцию распределения случайной величины Х ; значение F (2); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала . Построить многоугольник распределения.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую вероятность и построить график функции распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины.
Случайная величина Х принимает только четыре значения: -4, -3, 1 и 2. Каждое из этих значений она принимает с определенной вероятностью. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то недостающая вероятность равна:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Составим функцию распределения случайной величины Х. Известно, что функция распределения , тогда:
Следовательно,
Построим график функции F (x ) .
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значения случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.
Дисперсию дискретной случайной величины найдем по формуле:
Элементы комбинаторикиЗдесь: - факториал числа |
||||||||||
Действия над событиямиСобытие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Объединение событий А и В – это событие С , которое состоит в появлении или события А , или события В , или обоих событий одновременно. Обозначение:
Пересечение событий А и В – это событие С , которое состоит в одновременном появлении обоих событий. Обозначение:
|
||||||||||
Классическое определение вероятностиВероятность события А
– это
отношение числа опытов |
||||||||||
Формула умножения вероятностейВероятность события
- вероятность события А, - вероятность события В, - вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Если события А и В – независимы (появление одного не влияет на появление другого), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула сложения вероятностейВероятность события
Вероятность события А, Вероятность события В, - вероятность совместного появления событий А и В . Если события А и В – несовместны (не могут появиться одновременно), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула полной вероятностиПусть
событие А
может произойти
одновременно с одним из событий
|
||||||||||
Схема БернуллиПусть проводится n независимых испытаний. Вероятность появления (успеха) события А в каждом из них постоянна и равна p , вероятность неудачи (т.е. не появления события А ) q = 1 - p . Тогда вероятность появления k успехов в n испытаниях можно найти по формуле Бернулли: Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли – это число появлений некоторого события, которому соответствует наибольшая вероятность. Можно найти по формуле: |
||||||||||
Случайные величиныдискретные непрерывные (н-р, число девочек в семье с 5 детьми) (н-р, время исправной работы чайника) Числовые характеристики дискретных случайных величинПусть дискретная величина задана рядом распределения:
, , …, - значения случайной величины Х ; , , …, - соответствующие им значения вероятностей. Функция распределенияФункцией распределения случайной величины Х называется функция , заданная на всей числовой прямой и равная вероятности того, что Х будет меньше х : |
Событие. Операции над случайными событиями.
Понятие вероятности события.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли.
Случайная величина, ее функция распределения и ряд распределения.
Основные свойства функции распределения.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное и распределение Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Муавра-Лапласа.
Закон и функция распределения системы двух случайных величин.
Плотность распределения системы двух случайных величин.
Условные законы распределения, условное математическое ожидание.
Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.
Выборка. Обработка выборки. Полигон и гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения.
Понятие оценки параметров распределения. Требования к оценке. Доверительный интервал. Построение интервалов для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Критерии согласия.
Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .
Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.
Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:
а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).
г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).
Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$
Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end{array}$
Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.
Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.
Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:
Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$
Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.
Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.
Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.
Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.
Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.
Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.
Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:
$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$
В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.
Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:
Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$
Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.
Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.
Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.
Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.
Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$
Свойства функции распределения :
Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$
Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).
Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.
Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$
Определение 1
Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.
Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.
Описать случайную величину можно с используя закона распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:
Рисунок 1.
где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.
Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .
Рисунок 2.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:
Определение 3
Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$
Определение 4
Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.
Определение 5
Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Определение 6
Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.
Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$
Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$
Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:
Рисунок 3.
Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид
Рисунок 4.
А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид
Рисунок 5.
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.
Лечение акне в домашних условиях: как избавиться от угрей и прыщей своими силами?
Стадии развития болезни и их исходы Типические патологические процессы
Эти упражнения восстановит работу желчного пузыря, печени и не только!
Судебная Генетическая Экспертиза ДНК Днк экспертиза на установление родства и отцовства
Занесение жизни из космоса на Землю. (Панспермия).Панспермия: развитие идеи. Если попытаться кратко охарактеризовать панспермию, суть ее можно свести к следующему: существуют зародыши жизни, рассеянные по всей Вселенной и в принципе способные заселить люб
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя образовательная школа № 5» Пластилиновая история Творческий проект Выполнил: обучающийся 3 г класс, Скляров Дмитрий Руководитель: Демиденко Татьяна Геннадьевна, учитель начальных к
Арзамасова Г.А. Управление денежными средствами и их учет в бюджетных учреждениях // Международный журнал гуманитарных и естественных наук – 2017. – №10. – С. 104-108 УПРАВЛЕНИЕ ДЕНЕЖНЫМИ СРЕДСТВАМИ И ИХ УЧЕТ В БЮДЖЕТНЫХ УЧРЕЖДЕНИЯХ Г.А. Арзамасова ,
Блюда из морских обитателей получаются вкусными и полезными. Салат из печени минтая в разных его проявлениях - это блюдо питательное и диетическое. Калорий в главном ингредиенте мало, в его составе присутствует Омега-3, которая необходима для человеческог
Корригирующая остеотомия - один из видов оперативного вмешательства, направленный на устранение деформационных изменений в костной ткани. Если рассматривать суть хирургического вмешательства подобного плана, то это искусственное ломание кости на необход