Povrchová plocha pyramídy. V tomto článku sa pozrieme na problémy s pravidelnými pyramídami. Pripomínam, že pravidelná pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník, vrchol pyramídy sa premieta do stredu tohto mnohouholníka.

Bočná strana takejto pyramídy je rovnoramenný trojuholník.Výška tohto trojuholníka, nakresleného z vrcholu pravidelnej pyramídy, sa nazýva apotém, SF - apotém:

V nižšie uvedenom type problému musíte nájsť plochu celej pyramídy alebo plochu jej bočného povrchu. Na blogu sa už rozoberalo niekoľko problémov s pravidelnými pyramídami, kde bola nastolená otázka hľadania prvkov (výška, hrana základne, bočná hrana).

IN Zadania jednotnej štátnej skúšky Spravidla sa berú do úvahy pravidelné trojuholníkové, štvoruholníkové a šesťuholníkové pyramídy. Nevidel som žiadne problémy s pravidelnými päťuholníkovými a sedemuholníkovými pyramídami.

Vzorec pre plochu celého povrchu je jednoduchý - musíte nájsť súčet plochy základne pyramídy a plochy jej bočného povrchu:

Zoberme si úlohy:

Strany základne pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy sú 72, bočné hrany sú 164. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.

Plocha pyramídy sa rovná súčtu plôch bočnej plochy a základne:

*Bočná plocha pozostáva zo štyroch trojuholníkov rovnakej plochy. Základňa pyramídy je štvorec.

Plochu strany pyramídy môžeme vypočítať pomocou:

Povrch pyramídy je teda:

Odpoveď: 28224

Strany základne pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa rovnajú 22, bočné hrany sa rovnajú 61. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.

Základom pravidelnej šesťhrannej pyramídy je pravidelný šesťuholník.

Bočný povrch tejto pyramídy pozostáva zo šiestich oblastí rovnakých trojuholníkov so stranami 61, 61 a 22:

Nájdite oblasť trojuholníka pomocou Heronovho vzorca:

Bočný povrch je teda:

Odpoveď: 3240

*V problémoch uvedených vyššie je možné nájsť oblasť bočnej plochy pomocou iného trojuholníkového vzorca, ale na to musíte vypočítať apotém.

27155. Nájdite povrch pravidelnej štvorhrannej pyramídy, ktorej strany základne sú 6 a výška je 4.

Aby sme našli plochu pyramídy, potrebujeme poznať plochu základne a plochu bočnej plochy:

Plocha základne je 36, pretože ide o štvorec so stranou 6.

Bočná plocha pozostáva zo štyroch plôch, ktoré sú rovnaké trojuholníky. Aby ste našli oblasť takéhoto trojuholníka, musíte poznať jeho základňu a výšku (apotém):

* Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu základne a výšky k tejto základni.

Základ je známy, rovná sa šiestim. Nájdeme výšku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený žltou farbou):

Jedna noha sa rovná 4, pretože toto je výška pyramídy, druhá sa rovná 3, pretože sa rovná polovici okraja základne. Preponu môžeme nájsť pomocou Pytagorovej vety:

To znamená, že plocha bočného povrchu pyramídy je:

Plocha celej pyramídy je teda:

odpoveď: 96

27069. Strany základne pravidelnej štvorhrannej pyramídy sa rovnajú 10, bočné hrany sa rovnajú 13. Nájdite plochu tejto pyramídy.

27070. Strany základne pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa rovnajú 10, bočné hrany sa rovnajú 13. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.

Existujú aj vzorce pre bočný povrch pravidelnej pyramídy. V pravidelnej pyramíde je základňa ortogonálnym priemetom bočného povrchu, preto:

P- obvod základne, l- apotéma pyramídy

*Tento vzorec je založený na vzorci pre oblasť trojuholníka.

Ak sa chcete dozvedieť viac o tom, ako sú tieto vzorce odvodené, nenechajte si to ujsť, sledujte publikovanie článkov.To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Rovnobežník je štvorhranný hranol s rovnobežníkom na jeho základni. Existujú hotové vzorce na výpočet bočného a celkového povrchu postavy, pre ktoré sú potrebné iba dĺžky troch rozmerov rovnobežnostena.

Ako nájsť bočnú plochu pravouhlého rovnobežnostena

Je potrebné rozlišovať medzi pravouhlým a rovným rovnobežnostenom. Základom rovného obrázku môže byť akýkoľvek rovnobežník. Plocha takéhoto čísla sa musí vypočítať pomocou iných vzorcov.

Súčet S bočných plôch pravouhlého rovnobežnostena sa vypočíta pomocou jednoduchého vzorca P*h, kde P je obvod ah je výška. Obrázok ukazuje, že protiľahlé strany pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké a výška h sa zhoduje s dĺžkou hrán kolmých na základňu.

Povrchová plocha kvádra

Celková plocha figúrky pozostáva zo strany a plochy 2 podstavcov. Ako nájsť oblasť pravouhlého rovnobežnostena:

Kde a, b a c sú rozmery geometrického telesa.
Opísané vzorce sú ľahko pochopiteľné a užitočné pri riešení mnohých geometrických problémov. Príklad typickej úlohy je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Pri riešení problémov tohto druhu treba pamätať na to, že základňa štvoruholníkového hranola sa volí ľubovoľne. Ak vezmeme za základ tvár s rozmermi x a 3, hodnoty Sside budú iné a Stotal zostane 94 cm2.

Povrch kocky

Kocka je obdĺžnikový hranol, v ktorom sú všetky 3 rozmery rovnaké. V tomto ohľade sa vzorce pre celkovú a bočnú plochu kocky líšia od štandardných.

Obvod kocky je 4a, teda Sstrana = 4*a*a = 4*a2. Tieto výrazy nie sú potrebné na zapamätanie, ale výrazne urýchľujú riešenie úloh.

Pred štúdiom otázok o tomto geometrickom útvare a jeho vlastnostiach by ste mali pochopiť niektoré pojmy. Keď človek počuje o pyramíde, predstaví si obrovské budovy v Egypte. Takto vyzerajú tie najjednoduchšie. Ale stávajú sa odlišné typy a tvary, čo znamená, že vzorec výpočtu pre geometrické tvary bude iný.

Pyramída - geometrický obrazec , označujúce a reprezentujúce niekoľko tvárí. V podstate ide o ten istý mnohosten, na ktorého základni leží mnohouholník a po stranách sú trojuholníky spájajúce sa v jednom bode - vrchole. Obrázok sa dodáva v dvoch hlavných typoch:

• správne;
• skrátený.

V prvom prípade je základňou pravidelný mnohouholník. Tu sú všetky bočné plochy rovnaké medzi sebou a postavou samotnou poteší oko perfekcionistu.

V druhom prípade existujú dve základne - veľká úplne dole a malá medzi hornou časťou, ktorá opakuje tvar hlavnej. Inými slovami, zrezaný ihlan je mnohosten s prierezom vytvoreným rovnobežne so základňou.

Termíny a symboly

Kľúčové pojmy:

• Pravidelný (rovnostranný) trojuholník- postava s tromi rovnakými uhlami a rovnaké strany. V tomto prípade sú všetky uhly 60 stupňov. Obrázok je najjednoduchší z pravidelných mnohostenov. Ak toto číslo leží na základni, potom sa takýto mnohosten bude nazývať pravidelný trojuholník. Ak je základňou štvorec, pyramída sa bude nazývať pravidelná štvoruholníková pyramída.
• Vertex– najvyšší bod, kde sa hrany stretávajú. Výška vrcholu je tvorená priamkou siahajúcou od vrcholu k základni pyramídy.
• Hrana– jedna z rovín mnohouholníka. Môže byť vo forme trojuholníka v prípade trojuholníkovej pyramídy alebo vo forme lichobežníka pre zrezanú pyramídu.
• oddiel- plochá postava vytvorená ako výsledok pitvy. Nemal by sa zamieňať so sekciou, pretože sekcia tiež zobrazuje, čo je za sekciou.
• Apothem- úsečka vedená od vrcholu pyramídy k jej základni. Je to tiež výška tváre, kde sa nachádza druhý výškový bod. Táto definícia platí len vo vzťahu k pravidelnému mnohostenu. Napríklad, ak toto nie je skrátená pyramída, potom bude tvár trojuholníka. V tomto prípade sa výška tohto trojuholníka stane apotémou.

Plošné vzorce

Nájdite bočnú plochu pyramídy akýkoľvek typ možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Ak obrázok nie je symetrický a je to mnohouholník s rôznymi stranami, potom je v tomto prípade jednoduchšie vypočítať celkovú plochu povrchu cez súhrn všetkých plôch. Inými slovami, musíte vypočítať plochu každej tváre a spočítať ich.

V závislosti od toho, aké parametre sú známe, môžu byť potrebné vzorce na výpočet štvorca, lichobežníka, ľubovoľného štvoruholníka atď. Samotné vzorce rôzne prípady bude mať tiež rozdiely.

V prípade bežnej postavy je hľadanie oblasti oveľa jednoduchšie. Stačí poznať niekoľko kľúčových parametrov. Vo väčšine prípadov sú potrebné výpočty špeciálne pre takéto čísla. Preto budú nižšie uvedené zodpovedajúce vzorce. V opačnom prípade by sa muselo všetko rozpisovať na niekoľko strán, čo by len zamotalo a zamotalo.

Základný vzorec pre výpočet Bočný povrch pravidelnej pyramídy bude mať nasledujúci tvar:

S = ½ Pa (P je obvod základne a je apotém)

Pozrime sa na jeden príklad. Mnohosten má základňu so segmentmi A1, A2, A3, A4, A5 a všetky sa rovnajú 10 cm. Najprv musíte nájsť obvod. Keďže všetkých päť plôch základne je rovnakých, nájdete to takto: P = 5 * 10 = 50 cm Ďalej použijeme základný vzorec: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na druhú.

Bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy najjednoduchšie vypočítať. Vzorec vyzerá takto:

S =½* ab *3, kde a je apotém, b je plocha základne. Faktor tri tu znamená počet plôch základne a prvá časť je plocha bočného povrchu. Pozrime sa na príklad. Daný obrazec s apotémou 5 cm a základnou hranou 8 cm Vypočítame: S = 1/2*5*8*3=60 cm na druhú.

Bočný povrch zrezanej pyramídy Je to trochu náročnejšie na výpočet. Vzorec vyzerá takto: S = 1/2*(p_01+ p_02)*a, kde p_01 a p_02 sú obvody báz a je apotém. Pozrime sa na príklad. Povedzme, že pre štvoruholníkovú postavu sú rozmery strán podstavcov 3 a 6 cm a apotém je 4 cm.

Tu musíte najskôr nájsť obvody podstavcov: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Zostáva nahradiť hodnoty do hlavného vzorca a dostaneme: S = 1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na druhú.

Takto môžete nájsť bočnú plochu pravidelnej pyramídy akejkoľvek zložitosti. Mali by ste byť opatrní a nezamieňať tieto výpočty s celkovou plochou celého mnohostenu. A ak to stále potrebujete urobiť, stačí vypočítať plochu najväčšej základne mnohostenu a pridať ju k ploche bočného povrchu mnohostenu.

Video

Toto video vám pomôže upevniť informácie o tom, ako nájsť bočnú plochu rôznych pyramíd.

Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.

Pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje vedomosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad o tom, ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných hrán až po celú plochu. Ak je situácia s bočnými plochami jasná, keďže ide o trojuholníky, základňa je vždy iná.

Ako nájsť oblasť základne pyramídy?

Môže to byť úplne akýkoľvek obrázok: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nepravidelná. V úlohách Jednotnej štátnej skúšky, ktoré školákov zaujímajú, sú na základni len úlohy so správnymi číslami. Preto budeme hovoriť len o nich.

Pravidelný trojuholník

Teda rovnostranné. Ten, v ktorom sú všetky strany rovnaké a sú označené písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:

S = (a 2 * √3) / 4.

Námestie

Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší, tu je „a“ opäť strana:

Ľubovoľný pravidelný n-uholník

Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet použitých uhlov latinské písmeno n.

S = (n*a2)/(4*tg (180°/n)).

Čo robiť pri výpočte bočného a celkového povrchu?

Pretože na základni leží správna postava, potom sa ukážu, že všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom s cieľom vypočítať bočná oblasť pyramídy, budete potrebovať vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomilov. Počet členov je určený počtom strán základne.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre oblasť bočného povrchu to vyzerá takto:

S = ½ P*A, kde P je obvod základne pyramídy.

Existujú situácie, keď strany základne nie sú známe, ale sú dané bočné hrany (c) a plochý uhol na jej vrchole (α). Potom musíte na výpočet bočnej plochy pyramídy použiť nasledujúci vzorec:

S = n/2 * v 2 sin α .

Úloha č.1

Podmienka. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa má stranu 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Riešenie. Musíte začať výpočtom obvodu základne. Pretože ide o pravidelný trojuholník, potom P = 3 * 4 = 12 cm, pretože apotém je známy, môžeme okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.

Pre trojuholník na základni získate nasledujúcu hodnotu plochy: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Na určenie celej plochy budete musieť sčítať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpoveď. 10√3 cm 2.

Problém č.2

Podmienka. Je tu pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžka základnej strany je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Je potrebné zistiť jeho povrch.

Riešenie. Keďže mnohosten je štvorhranný a pravidelný, jeho základňa je štvorec. Keď poznáte plochu základne a bočných plôch, budete môcť vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A pre bočné plochy sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k nasledujúcemu číslu: 49 mm 2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžete vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existujú iba štyri takéto trojuholníky, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.

Ukazuje sa: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odpoveď. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úloha č.3

Podmienka. Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. Strana štvorca je známa ako 6 cm a výška je 4 cm.

Riešenie. Najjednoduchším spôsobom je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhý je trochu komplikovanejší.

Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť Tvorí ju výška pyramídy a apotém, čo je prepona. Druhá noha sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu spadá do jeho stredu.

Hľadaná apotéma (hypotenúza správny trojuholník) sa rovná √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odpoveď. 96 cm2.

Problém č.4

Podmienka. Správna strana je daná: strany jeho základne sú 22 mm, bočné okraje sú 61 mm. Aký je bočný povrch tohto mnohostenu?

Riešenie. Zdôvodnenie v ňom je rovnaké ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.

Najprv sa základná plocha vypočíta pomocou vyššie uvedeného vzorca: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm2.

Teraz musíte zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, čo je bočná strana. (22+61*2):2 = 72 cm Zostáva len použiť Heronov vzorec na výpočet plochy každého takéhoto trojuholníka a potom ho vynásobiť šiestimi a pripočítať k tomu, ktorý sa získa pre základňu.

Výpočty pomocou Heronovho vzorca: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 660 * 6 = 3960 cm2. Zostáva ich spočítať, aby ste zistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpoveď. Základňa je 726√3 cm2, bočná plocha je 3960 cm2, celá plocha je 5217 cm2.

Pyramída- jedna z odrôd mnohostenu tvoreného z mnohouholníkov a trojuholníkov, ktoré ležia na základni a sú jeho plochami.

Navyše, na vrchole pyramídy (t. j. v jednom bode) sú všetky tváre zjednotené.

Na výpočet plochy pyramídy je potrebné určiť, že jej bočný povrch pozostáva z niekoľkých trojuholníkov. A môžeme ľahko nájsť ich oblasti pomocou

rôzne vzorce. Podľa toho, aké údaje o trojuholníkoch vieme, hľadáme ich plochu.

Uvádzame niekoľko vzorcov, ktoré možno použiť na nájdenie oblasti trojuholníkov:

1. S = (a*h)/2 . V tomto prípade poznáme výšku trojuholníka h , ktorý je spustený nabok a .
2. S = a*b*sinp . Tu sú strany trojuholníka a , b a uhol medzi nimi je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Tu sú strany trojuholníka a, b, c . Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do trojuholníka je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka je R .
5. S = (a*b)/2 = r2 + 2*r*R . Tento vzorec je potrebné použiť iba vtedy, keď je trojuholník pravouhlý.
6. S = (a²*√3)/4 . Tento vzorec aplikujeme na rovnostranný trojuholník.

Až potom, čo vypočítame plochy všetkých trojuholníkov, ktoré sú plochami našej pyramídy, môžeme vypočítať plochu jej bočného povrchu. Na tento účel použijeme vyššie uvedené vzorce.

Na výpočet plochy bočného povrchu pyramídy nevznikajú žiadne ťažkosti: musíte zistiť súčet plôch všetkých trojuholníkov. Vyjadrime to vzorcom:

Sp = ΣSi

Tu Si je plocha prvého trojuholníka a S P - plocha bočného povrchu pyramídy.

Pozrime sa na príklad. Pri pravidelnej pyramíde sú jej bočné steny tvorené niekoľkými rovnostrannými trojuholníkmi,

« Geometria je najmocnejší nástroj na vycibrenie našich mentálnych schopností».

Galileo Galilei.

a štvorec je základom pyramídy. Okrem toho má okraj pyramídy dĺžku 17 cm.

Uvažujeme takto: vieme, že steny pyramídy sú trojuholníky, sú rovnostranné. Tiež vieme, aká je dĺžka hrany tejto pyramídy. Z toho vyplýva, že všetky trojuholníky majú rovnaké strany a ich dĺžka je 17 cm.

Na výpočet plochy každého z týchto trojuholníkov môžete použiť nasledujúci vzorec:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Takže, keďže vieme, že na základni pyramídy leží štvorec, ukázalo sa, že máme štyri rovnostranné trojuholníky. To znamená, že bočný povrch pyramídy možno ľahko vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naša odpoveď je nasledovná: 500,548 cm² - to je plocha bočného povrchu tejto pyramídy.