Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Задача. Решите неравенство:
Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x
2 − 18x
+ 16 < (x
− 4) 2 ;
2x
2 − 18x
+ 16 < x
2 − 8x
+ 16:
x
2 − 10x
< 0;
x
(x
− 10) < 0;
x
∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :
2x
2 − 18x
+ 16 ≥ 0;
x
2 − 9x
+ 8 ≥ 0;
(x
− 8)(x
− 1) ≥ 0;
x
∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}
Тестостерон один из самых важных гормонов отвечающий за построение мышечного каркаса, прочность костей, сексуальные функции, настроение и другие факторы в организме человека. Для спортсменов и бодибилдеров больше всего интересен фактор наращивания мышечно
С помощью Министерства обороны Российской Федерации был создан электронный банк «Подвиг народа в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» который находится по адресу podvignaroda.mil.ru, на нем можно найти информацию о подвигах и наградах своих отцов, д
Героизму народа, который пережил Великую Отечественную войну и смог отстоять свою Родину, нет предела. Люди сражались за свою страну, погибали за нее. И это привело к закономерному результату. В данном обзоре речь пойдет о том, при защите каких городов лю
Никогда бы не подумала, что однажды попаду в Сказочный мир. И не абы куда, а в настоящую Школу Сказок! Жаль, предупредить забыли, что учиться предстоит не на ведьмочку, а на настоящую Бабу Ягу! Только диета из добрых молодцев современных Ёжек не устраивае
Легкий салат . Легкий салат – питательный салат из легких для усвоения продуктов, заправленный растительным маслом, йогуртом, соусом или нежирной заправкой.Пища самым непосредственным образом влияет на наше самочувствие. Хотите ощущать легкость, энергию,
Торт из зефира без выпечки - необыкновенно вкусный десерт для сладкоежек. Скажу честно, я не любитель зефира и как самостоятельный продукт он меня совсем не привлекает. Но, совсем другое дело, когда зефир является одним из составляющих торта или десерта!