Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .
Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцевпараметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, закачайте мою геометрическую прогу на странице Математические формулы и таблицы .
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
Пример 6
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7
Найти производную от функции, заданной параметрически
Это пример для самостоятельного решения.
В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :
Я заметил, что в задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы . Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем? Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от .
Найдем вторую производную.
Используем формулу: .
Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»:
Осталось воспользоваться формулой:
Для закрепления материала предлагаю еще пару примеров для самостоятельного решения.
Пример 9
Пример 10
Найти и для функции, заданной параметрически
Желаю успехов!
Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Таким образом:
До сих пор рассматривались уравнения линий на плоскости, связывающие непосредственно текущие координаты точек этих линий. Однако часто применяется другой способ задания линии, в котором текущие координаты рассматриваются как функции третьей переменной величины.
Пусть даны две функции переменной
рассматриваемые для одних и тех же значений t. Тогда любому из этих значений t соответствует определенное значение и определенное значение у, а следовательно, и определенная точка . Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций (73), точка описывает некоторую линию С в плоскости Уравнения (73) называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная - параметром.
Предположим, что функция имеет обратную функцию Подставив эту функцию во второе из уравнений (73), получим уравнение
выражающее у как функцию
Условимся говорить, что эта функция задана параметрически уравнениями (73). Переход от этих уравнений к уравнению (74) называется исключением параметра. При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не только не обязательно, но и не всегда практически возможно.
Во многих случаях гораздо удобнее, задаваясь различными значениями параметра вычислять затем по формулам (73) соответствующие значения аргумента и функции у.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть - произвольная точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. Декартовы координаты х и у этой точки выражаются через ее полярный радиус и полярный угол, который мы здесь обозначим через t, следующим образом (см. гл. I, § 3, п. 3):
Уравнения (75) называются параметрическими уравнениями окружности. Параметром в них является полярный угол , который меняется в пределах от 0 до .
Если уравнения (75) почленно возвести в квадрат и сложить, то в силу тождества параметр исключится и получится уравнение окружности в декартовой системе координат определяющее две элементарные функции:
Каждая из этих функций задается параметрически уравнениями (75), но области изменения параметра для этих функций различны. Для первой из них ; графиком этой функции служит верхняя полуокружность. Для второй функции графиком ее является нижняя полуокружность.
Пример 2. Рассмотрим одновременно эллипс
и окружность с центром в начале координат и радиусом а (рис. 138).
Каждой точке М эллипса сопоставим точку N окружности, имеющую ту же абсциссу, что и точка М, и расположенную с ней по одну сторону от оси Ох. Положение точки N, а следовательно, и точки М, вполне определяется полярным углом t точки При этом для их общей абсциссы получим следующее выражение: х = a. Ординату у точки М найдем из уравнения эллипса:
Знак выбран потому, что ордината у точки М и ордината точки N должны иметь одинаковые знаки.
Таким образом, для эллипса получены следующие параметрические уравнения:
Здесь параметр t изменяется от 0 до .
Пример 3. Рассмотрим окружность с центром в точке а) и радиусом а, которая, очевидно, касается оси абсцисс в начале координат (рис. 139). Предположим, это эта окружность катится без скольжения по оси абсцисс. Тогда точка М окружности, совпадавшая в начальный момент с началом координат, описывает линию, которая называется циклоидой.
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв за параметр t угол МСВ поворота окружности при перемещении ее фиксированной точки из положения О в положение М. Тогда для координат и у точки М мы получим следующие выражения:
Вследствие того что окружность катится по оси без скольжения, длина отрезка ОВ равна длине дуги ВМ. Так как длина дуги ВМ равна произведению радиуса а на центральный угол t, то . Поэтому . Но Следовательно,
Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении параметра t от 0 до окружность совершит один полный оборот. Точка М при этом опишет одну арку циклоиды.
Исключение параметра t приводит здесь к громоздким выражениям и практически нецелесообразно.
Параметрическое задание линий особенно часто используется в механике, причем роль параметра играет время.
Пример 4. Определим траекторию снаряда, выпущенного из орудия с начальной скоростью под углом а к горизонту. Сопротивлением воздуха и размерами снаряда, считая его материальной точкой, пренебрегаем.
Выберем систему координат. За начало координат примем точку вылета снаряда из дула. Ось Ох направим горизонтально, а ось Оу - вертикально, расположив их в одной плоскости с дулом орудия. Если бы не было силы земного тяготения, то снаряд двигался бы по прямой, составляющей угол а с осью Ох и к моменту времени t прошел бы путь Координаты снаряда в момент времени t были бы соответственно равны: . Вследствие земного тяготения снаряд должен к этому моменту вертикально опуститься на величину Поэтому в действительности в момент времени t координаты снаряда определяются по формулам:
В этих уравнениях - постоянные величины. При изменении t будут изменяться также координаты у точки траектории снаряда. Уравнения являются параметрическими уравнениями траектории снаряда, в которых параметром является время
Выразив из первого уравнения и подставив его во
второе уравнение, получим уравнение траектории снаряда в виде Это - уравнение параболы.
В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках и Производная сложной функции . Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним само определение функции одной переменной :
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной
или аргументом
.
Переменная называется зависимой переменной
или функцией
.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .
Рассмотрим другую функцию:
Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: – пример неявной функции .
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.
И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.
Пример 1
1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений
):
3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
– просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .
Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция
. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ
(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :
Произведение дифференцируем по обычному правилу :
Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция :
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Если есть скобки, то раскрываем их:
4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:
5) В левой части выносим производную за скобки:
6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения
Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные . Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт , иначе в голове будет полная каша.
Найдем производную неявной функции вторым способом.
Переносим все слагаемые в левую часть:
И рассматриваем функцию двух переменных:
Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:
Таким образом:
Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Найти производную от функции, заданной неявно
Навешиваем штрихи на обе части:
Используем правила линейности:
Находим производные:
Раскрываем все скобки:
Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:
Окончательный ответ:
Пример 3
Найти производную от функции, заданной неявно
Полное решение и образец оформления в конце урока.
Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
Пример 4
Найти производную от функции, заданной неявно
Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :
Раскрываем скобки:
Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем на . Если подробно, то выглядеть это будет так:
Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на
В левой части выносим за скобку:
Окончательный ответ:
Пример 5
Найти производную от функции, заданной неявно
Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .
Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, можете воспользоваться моей программой .
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
Пример 6
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7
Найти производную от функции, заданной параметрически
Это пример для самостоятельного решения.
В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляем найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :
Пусть функция задана параметрическим способом:
(1)
где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной .
Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки .
Тогда функция (1) имеет в точке производную ,
которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)
Здесь и - производные функций и по переменной (параметру) .
Их часто записывают в следующем виде:
;
.
Тогда систему (2) можно записать так:
По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как
.
Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:
.
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
.
Правило доказано.
Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :
.
Введем обозначение:
.
Тогда и предыдущая формула принимает вид:
.
Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию ,
в окрестности точки .
Введем обозначения:
;
;
;
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
.
При ,
.
Тогда
.
Правило доказано.
Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)
По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)
Обозначим первую производную, посредством переменной :
.
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной ,
нужно найти первую производную от функции по переменной .
Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:
(3)
Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:
Теперь выразим результат через функции и .
Для этого подставим и применим формулу производной дроби :
.
Тогда
.
Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :
Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
.
Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.
Заметим, что можно не вводить обозначение для производной .
Можно записать так:
;
.
Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:
Находим производные и по .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем :
.
Здесь .
.
Здесь .
Искомая производная:
.
Найдите производную от функции, выраженной через параметр :
Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней :
.
Находим производную :
.
Находим производную .
Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции .
.
Находим искомую производную:
.
Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:
В примере 1 мы нашли производную первого порядка:
Введем обозначение .
Тогда функция является производной по .
Она задана параметрическим способом:
Чтобы найти вторую производную по ,
нам надо найти первую производную по .
Дифференцируем по .
.
Производную по мы нашли в примере 1:
.
Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :
.
Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:
Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение .
Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции ,
которая задана параметрическим способом:
Находим производную по .
Для этого перепишем в эквивалентном виде:
.
Из
.
Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :
.
Можно не вводить переменные и ,
которые являются производными и ,
соответственно. Тогда можно записать так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:
Производная третьего порядка.
Понятие "Генетическая экспертиза (ДНК-анализ, ДНК-тест, Экспертиза ДНК)": Генетическая экспертиза (экспертиза ДНК, судебная генетическая экспертиза, ДНК-анализ, независимая генетическая экспертиза, тест ДНК) – это один из видов молекулярно-генетической э
Острый перец способен вызвать достаточно неприятные ощущения при употреблении. К таким ощущениям относятся: слезоточивость, жжение, затрудненное дыхание. Однако, несмотря на все последствия употребления жгучего перца, многие все же не могут отказаться от
Занесение жизни из космоса на Землю. (Панспермия).Панспермия: развитие идеи. Если попытаться кратко охарактеризовать панспермию, суть ее можно свести к следующему: существуют зародыши жизни, рассеянные по всей Вселенной и в принципе способные заселить люб
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя образовательная школа № 5» Пластилиновая история Творческий проект Выполнил: обучающийся 3 г класс, Скляров Дмитрий Руководитель: Демиденко Татьяна Геннадьевна, учитель начальных к
Арзамасова Г.А. Управление денежными средствами и их учет в бюджетных учреждениях // Международный журнал гуманитарных и естественных наук – 2017. – №10. – С. 104-108 УПРАВЛЕНИЕ ДЕНЕЖНЫМИ СРЕДСТВАМИ И ИХ УЧЕТ В БЮДЖЕТНЫХ УЧРЕЖДЕНИЯХ Г.А. Арзамасова ,
Блюда из морских обитателей получаются вкусными и полезными. Салат из печени минтая в разных его проявлениях - это блюдо питательное и диетическое. Калорий в главном ингредиенте мало, в его составе присутствует Омега-3, которая необходима для человеческог