§ 11. Пропорциональные отрезки в круге .

1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.

2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.

3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.

2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.

4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ-полуокружность; CD - перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:

1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;

2) определить АВ, если AD: DB= 4: 9 и CD=30;

3) определить AD, если CD=3AD, а радиус равен r ;

4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.

3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.

8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.

9. Построить отрезок, равный: √15 ; √10 ; √6 ; √3 .

10. ADB-диаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.

11. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;

2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;

3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7 / 9 AD.

12. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;

2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.

13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.

14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).

15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h = 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА (ВС = х ).

17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 40) сделано закругление; при этом оказалось, ; что BС= а = 42,4 м. Определить радиус закругления OA = R.

18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2 1 / 2 раза. Как изменился отрезок MB?

19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая - пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая- в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.

20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

21. Секущая ABC повёрнута около внешней точки А так, что внешний её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

22. Пусть ADB и AЕС-две прямые, пересекающие окружность: первая -в точках D и В, вторая -в точках E и С. Требуется:

1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;

2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;

3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.

23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

24. МАВ и MCD-две секущие к одной окружности. Требуется:

1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;

2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;

3) определить АВ, если АВ= МС, МА = 20 и CD= 11.

25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b , а их продолжения относятся, как т: п .

26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1 / 4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.

31. Пусть будет: АВ-касательная и ACD-секущая той же окружности. Требуется:

1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;

2) определить AD, если AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;

3) определить АВ, если AB = CD и АС = а .

32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?

2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

3) М - наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h 2

Замечание. Так как h 2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈ √2Rh .

33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.

34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а , а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.

36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.

37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.

39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.

40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

44. Радиус равен r , хорда данной дуги равна а . Определить хорду удвоенной дуги.

45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В-хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с . Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.

Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива

Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:

Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.

Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:

Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).

Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,

Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.

Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим

что и требовалось доказать.

Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.

Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:

Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.

Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

• Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
• Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
• Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Станция	Номера задач	Отметка о решении
Решай-ка!	№1, №3
Соображай-ка!	№5, №8
Отвечай-ка!	№10, №11

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение:

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теоремы о пропорциональных линиях

Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Доказательство. Требуется доказать, что

.

Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны (вследствие параллельности прямых). Из их подобия следует:

Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D"E" , отрезок EN на E"F" (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.

Теорема. Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

.

Обратная теорема. Если какая-нибудь сторона треугольника разделена на две части, пропорциональные двум прилежащим сторонам этого треугольника, то прямая, соединяющая точку деления с вершиной противолежащего угла, есть биссектриса этого угла

.

Теорема. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в некоторой точке, то расстояния от этой точки до концов продолженной стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника

.

Числовые зависимости между элементами треугольника.

Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком

.

Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как

Р 1=Р 4 и Р 2=Р 3 (так как их стороны перпендикулярны), следовательно BD:AD=AD:DC.

2) Треугольники ABD и AВC подобны, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно BC:AB=AB:DB.

3) Треугольники ABС и ADC подобны, так как они прямоугольные и угол С у них общий, следовательно BC:AC=AC:DC.

Следствие. Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком его

.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

.

Следствие. Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы

.

Теорема. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного

произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты .

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон

.

Пропорциональные линии в круге.

Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра .

Следствие. Если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.

Теорема. Если из точки, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной

.

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки