Двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта , называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввел англ. математик У. Оутред в 1631) или (ввел нем . ученый . Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а? b или а b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие , относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно , так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b – множителем. У. дробных чисел и определяется равенством (см. Дробь). У. рациональных чисел дает число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (–), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел, заданных в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством ab = ac – bd + (ad + bc) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме: a = r1 (cosj1 + isin j1), b = r2 (cosj2 + isin j2), их модули перемножаются, а аргументы складываются: ab = r1r2{cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)}. У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами: 1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон); 2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон); 3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а?0 = 0; a?1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел. Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. . результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трехмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

Из существующих вариантов разъяснения младшим школьникам смысла действия умножения наиболее предпочтителен способ знакомства через сложение одинаковых слагаемых, особенно для практичного левши. Рациональный левша понимает, что лучше один раз помучиться с умножением, чем столько раз складывать! Не было еще ни одного ребенка, не понявшего значения каждого из сомножителей в записи 3 х 2 = 6. Они сознательно заменяют произведение суммой и, наоборот, сравнивают, не вычисляя, произведения и находят значение нового произведения по известному с использованием действий сложения или вычитания. При этом они не делают в задачах ошибки, записывая стоимость трех конфет выражением вида 3 х 2, в котором каждая конфета оценивается в два рубля.

Однако при введении нового понятия перед детьми всегда ставятся практические задачи, подводящие их к пониманию его смысла. Традиционно при объяснении содержания действия умножения предлагается посчитать количество квадратиков внутри прямоугольника, то есть определить его площадь. Причем определять площадь приходится сразу двумя способами, пытаясь самостоятельно открыть переместительный закон умножения.

Задачу как практическую решают все, но какое отношение к ней имеет умножение, не понимает, честно признать, никто. Ведь в ходе работы столбики для подсчета квадратиков располагаются сначала вертикально, потом горизонтально. Более трудное для понимания левшой задание придумать трудно. Учащиеся младших классов очень долго не понимают понятия "площадь", заучивая формулу определения площади прямоугольника наизусть и постоянно путая понятия периметра и площади. Приходится давать разные практические задания в занимательной и игровой форме, чтобы ученики осознали вдруг "нутром", что такое площадь и что они, собственно, все это время искали. Поэтому появление на начальном этапе подобных геометрических интерпретаций, наоборот, запутывает левшу, а не вносит ясности, как предполагалось, в понимание смысла действия умножения.

Освоение нового действия детям очень нравится, и единственной загвоздкой служат примеры вида с х 1, в которых, конечно, получают... 1. На первых порах представляет трудность и умножение на нуль, ведь логика ребенка такова: если пишем 6 х 0, то 6 уже взяли (!), а значит, получаем 6! И приходится на практике просить взять что-то нуль раз, подводит кинестезия – раз написано, значит, существует. Эти ошибки иногда встречаются и позднее, например если ребенок устал или волнуется на контрольной работе.

Наибольшие трудности приносит некоторым левшам заучивание таблицы умножения. Уже на этапе счета тройками, двойками и т.д. можно выделить несчастного, обреченного на долгую борьбу с таблицей. И хотя ее освоение осуществляется поэтапно, учащиеся испытывают трудности из-за запоминания большого объема случаев. И хотя они с пониманием произносят правило о перемене мест сомножителей, но не могут на стадии заучивания таблицы выстроить столь длинную цепочку рассуждений:

7 х 4 = 4 х 7 = 28

– за требуемые несколько секунд. Самым же неприятным является то, что ответы не запоминаются. При работе по запоминанию табличных случаев приходится пускать в ход все средства, включая анализ столбика ответов, например умножения на 6: цифра 4 встречается в сочетании с цифрой 2 дважды:

6 х 4 = 24 и 6 х 7 = 42.

Кстати, ответ: 24 – один из наиболее плохо запоминающихся, а "вспоминание" звучит так: "А я его всегда забываю... Там еще 4 и 2, но 42 дальше 24, да?" В следующий раз уже звучит победный вопль: "Помню: 42 или 24, да, 24!"

Опять идут в ход карточки с ответами, но понятно, что у этого мученика и все остальные уроки тоже вызывают разного рода трудности, поэтому перебирать их приходится уже в постели, и то не всегда. И уже заученные примеры забываются. Конечно, таким ребятам проверка таблицы умножения на время противопоказана.

Главное в работе с ними – заставить их самих поверить в успех, без этого добиться победы будет невозможно. Надо вместе вести статистику уменьшения количества ошибок, проводить проверку таблицы, подбирая в задания побольше выученных примеров, воодушевляя ребенка. Совместный поиск способа запоминания с опорой на ведущий вид памяти быстрее приведет к победе, чем трагическое фиксирование неудач.

Способы запоминания таблицы умножения можно перечислить:

1. "Учим наизусть на слух: дважды два – четыре..." Но этот способ удобен при хорошей слуховой памяти. Обычно дети, испытывающие трудности в запоминании таблицы умножения, путают на слух созвучные слова "пух" – "дух", не сразу запоминают стихи, поэтому такой способ запоминания помогает не всегда, только на него нельзя полагаться, но и отказываться от него нельзя.


2. Используем зрительную память, зрительно заучивая столбики, а при проверке фишкой закрываем то один, то другой ответ, и ребенок пытается вспомнить. Конечно, он может воспользоваться закономерностью, что каждый следующий ответ в столбике отличается от предыдущего на величину первого сомножителя, поэтому когда честно старается припомнить, когда и посчитает – беда невелика, все равно капля камень точит.


3. Очень хорошим подспорьем при умножении на 9 служат пальчики: кладем обе руки на стол и при умножении, например 9 х 4 = 36, ищем четвертый пальчик. Перед ним слева остались три пальца, значит, число десятков 3, за ним справа – шесть пальцев, то есть число единиц 6, имеем 36.


4. Некоторые дети видят цифры цветными, поэтому в плохо запоминающихся случаях их можно нарисовать тем цветом, в какой они для них окрашены изначально. Ребенок вспомнит сочетание цветов и постепенно запомнит ответ.


5. Перебираем карточки с примерами, сначала рассматривая само действие, а вспоминая – ответ, потом наоборот, по ответу припоминая пример, что поможет при делении.


6. Иногда приходится рисовать пример в виде ребуса, подключая и смысловую память, используя еще один мнемонический прием.


7. Существуют приемы запоминания семизначных телефонных номеров, а в таблице умножения каждый пример содержит не более четырех цифр, поэтому можно для запоминания особенно неподдающихся случаев использовать их. Надо лишь иметь в виду, что применение подобных приемов может увести ребенка от понимания содержательной части таблицы умножения, а воспоминания о моменте, когда так здорово удалось запомнить пример, уведут от темы урока надолго.


8. Всегда остается верный способ добраться до забывшегося ответа присчитыванием нужного количества троек, например если этот случай из столбика умножения на 3.


9. Способ ориентирования на ближайшее к данному число в таблице гораздо полезнее.
   Например, 3 х 8 = ?, а трижды десять равно тридцати, ведь это ближе, чем хорошо запоминающееся 3 х 5 = 15. От случая умножения на 10 до примера с умножением на 8 пропущены две тройки 3 + 3 = 6, имеем 30 – 6 = 24, значит, 3 х 8 = 24. Грустно только то, что ученик, плохо запоминающий таблицу, считает медленно, поэтому рассмотренный путь рассуждений ему труден, зато как полезен!

Обычно перечисленных способов работы по выучиванию табличных случаев умножения бывает достаточно.

В период когда ребенок еще не запомнил все необходимые для решения случаи, а их использование нельзя откладывать, вполне допустимо пользоваться таблицой умножения в качестве справочного материала, чтобы не создавать излишнего стресса для ученика. Конечно, нужно и родителям, и учителю разграничивать невыученное по неуважительному поводу и неспособность быстро запоминать подобный материал по объективным причинам. Однако и здесь следует иметь в виду, что безграничная возможность пользования справочной табличкой отбивает стремление ее запомнить. Поэтому пользоваться с согласия преподавателя подсказками можно, чтобы не отставать от темпа класса, при ежедневной усердной работе по запоминанию таблицы.

Как уже говорилось выше, переместительное свойство умножения усваивается левшами хорошо, они даже больше других ратуют за его применение, но... из примеров оно перемещается на задачи. И, совершенно не задумываясь, они теперь при определении стоимости трех конфет пишут: 3 х 2 = 6 – и с пеной у рта доказывают, что нет никакой разницы. Свойство умножения, а тем более требования программы из-за их зловредных свойств никто отменять не будет, отличия же в смысле производимого действия они прекрасно понимают, хотя им очень трудно специально отслеживать, что на что множить, поэтому их упрямство небезосновательно. Надо твердо настаивать на своем требовании, тогда у левши возникает необходимость специально следить за порядком записи сомножителей, с чем он на 90% справляется.

Большую сложность для левшей представляет распределительное свойство умножения, поскольку они множат только на одно из слагаемых, игнорируя систематически второе, особенно после знакомства с умножением числа на произведение. Правда, после изучения последнего добавляется новая ошибка, когда они пытаются множить число на каждый множитель произведения, а потом или перемножать, или суммировать результаты. И все это имеет место после неоднократного сравнения результатов умножения числа на значение суммы и суммы произведений того же числа на каждое из слагаемых. Они ЗАБЫВАЮТ.

Поэтому пришлось создать яркий образ происходящего. Помог случай, когда два человека пытались одновременно пролезть в дверь – очень уж спешили. Мы рассмотрели результат, а дверь "производила" умножение. Как можно было попасть в класс? Двумя способами: пройдя по очереди через дверь, то есть произвести умножение каждого слагаемого, или протиснуться вместе – в скобке, то есть в виде суммы. Количество ошибок пошло на убыль, да и дети росли.

Умножения числа на произведение иллюстрировали круглыми числами:

36 х 2 х 5 = 36 х (2 х 5) = 36 х 10 = 360.

К сожалению, все ясно, пока дети работают совместно с учителем. А поскольку детям близко образное сравнение, то это задание мы представили цепочкой, командой, передающей эстафетную палочку. Зачем терять время и мусолить ее? Умножили по одному разу, чтобы поучаствовал каждый множитель, и помчались дальше, важно поудачнее выбрать последовательность умножения. Это поняли и, главное, приняли все. А удачный выбор последовательности умножения определяется сообразительностью ребенка. Даже азарт появляется!

Однако у части детей рассмотренные свойства умножения вызывают в лучшем случае только недоумение, а в худшем – отчаяние из-за невозможности прогнозирования и выбора наилучшего способа вычислений. Это вызвано, в первую очередь, нетвердым знанием состава чисел в пределах 10 и, конечно, если и знанием табличных случаев умножения, то неумением быстрого просчитывания с последующим сравнением и выбором наилучшего варианта в уме. С одной стороны, таких учеников надо обучать удерживанию в уме достаточно объемного массива информации при одновременном оперировании ею. Причем это не обязательно должны быть действия с числами в математике, можно наращивать предложения и помнить все добавления. С другой стороны, необходимы постоянные упражнения в устном счете с нарастанием как количества действий, так и сложности примеров. И, наконец, при наличии времени все задания, которые требуется решать наиболее удобным способом, выполнять, перебирая все возможные варианты с аргументированным выбором наилучшего.

Не от всех детей в начальной школе удается добиться самостоятельного применения изучаемых свойств умножения на практике. Не может – пусть решает "в лоб", но сдаться можно только после того, как использованы все средства помощи ребенку, да и не все потеряно – ведь впереди еще средняя школа.

«Действие умножение. Знак умножения».

Данный урок посвящен теме «Действие умножение. Знак умножения». В ходе урока вы познакомитесь с новым действием и научитесь его записывать. В качестве примера рассмотрим нахождение количества квартир в доме при известном количестве этажей и количестве квартир на каждом из этажей.

На данном уроке мы познакомимся с действием умножение и узнаем, как это действие связано со сложением.

Решим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 1)

В доме 5 этажей. На каждом этаже по 4 квартиры. Сколько квартир в этом доме?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

На рисунке (рис. 1) изображен такой дом. Чтобы узнать количество квартир в доме, нужно сложить квартиры, находящиеся на первом (4), втором (4), третьем (4), четвертом (4) и пятом (4) этажах.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

В данном примере мы находим сумму одинаковых слагаемых. В математике это можно заменить другим действием – умножением. Мы заменим сумму произведением, мы сложили 5 раз по 4 квартиры – это можно записать как 4 · 5.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 · 5 = 20

Ответ: в доме 20 квартир.

Задание 1

Потренируемся заменять сложение умножением и умножение сложением.

Рассмотрим пример: заменим сумму одинаковых слагаемых произведением (произведение – это результат умножения): 5 + 5 + 5 = . Слагаемое 5 повторяется 3 раза, поэтому сумму 5 + 5 + 5 можно заменить произведением 5 · 3.

5 + 5 + 5 = 5 · 3

Теперь рассмотрим обратный пример: необходимо произведение 8 · 2 представить в виде суммы одинаковых слагаемых. 8 · 2 – это 8 повторить 2 раза, то есть 8 + 8.

8·2 = 8 + 8

Посмотрим на выражение: 7 + 4 + 10 + 6 = и скажем, можно ли его заменить умножением.

В данном примере мы находим сумму не одинаковых, а разных слагаемых (первое слагаемое – 7, второе – 4, третье – 10, четвертое – 6). Значит, такую сумму заменить произведением нельзя, так как слагаемые не одинаковые. Мы можем только вычислить значение данного выражения. Выполним это удобным способом, для этого воспользуемся переместительным свойством сложения.

7 + 4 + 10 + 6 = 6 + 4 + 10 + 7 = 10 + 10 + 7 = 27

Задание 2

Составьте выражение, для того чтобы узнать, сколько кругов расположено на доске (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Посмотрим внимательно: мы видим, что в каждом ряду 6 кругов (Важно, что количество кругов одинаковое). Выражение, которое поможет нам узнать общее количество кругов, – 6 + 6. Это сумма одинаковых слагаемых, значит, мы можем заменить ее произведением:

6 + 6 = 6 · 2 = 12

На данном уроке мы познакомились с действием умножения, а на следующем уроке мы научимся составлять выражения на умножение и находить их значение.

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых. Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз. Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое. Результат умножения показывает, какое число получается. Например:

4 · 3 = 12

Список литературы

Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.

Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.

Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

86talsch-okt.edusite.ru (