Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.
Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:
В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .
В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.
Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:
Рассмотрим задачи:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.
Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :
Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:
Ответ: 28224
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:
Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:
Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
Ответ: 3240
*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.
27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.
Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):
*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.
Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):
Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:
Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:
Ответ: 96
27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:
P - периметр основания, l - апофема пирамиды
*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.
Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Инструкция
Прежде всего, стоит понять, что боковая поверхность пирамиды представлена несколькими треугольниками, площади которых можно найти с помощью самых различных формул, в зависимости от известных данных:
S = (a*h)/2, где h - высота, опущенная на сторону a;
S = a*b*sinβ, где a, b - стороны треугольника, а β - угол между этими сторонами;
S = (r*(a + b + c))/2, где a, b, c - стороны треугольника, а r - радиус вписанной в этот треугольник окружности;
S = (a*b*c)/4*R, где R - радиус описанной вокруг окружности треугольника;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (если треугольник - прямоугольный);
S = S = (a²*√3)/4 (если треугольник - равносторонний).
На самом деле, это лишь самые основные из известных формул для нахождения площади треугольника.
Рассчитав при помощи указанных выше формул площади всех треугольников, являющихся гранями пирамиды, можно приступить к исчислению площади данной пирамиды. Делается это предельно просто: необходимо сложить площади всех треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды. Формулой это можно выразить так:
Sп = ΣSi, где Sп - площадь боковой , Si - площадь i-ого треугольника, являющегося частью ее боковой поверхности.
Для большей ясности можно рассмотреть небольшой пример: дана правильная пирамида, боковые грани которой образованы равносторонними треугольникам, а в основании ее лежит квадрат. Длина ребра данной пирамиды составляет 17 см. Требуется найти площадь боковой поверхности данной пирамиды.
Решение: известна длина ребра данной пирамиды, известно, что грани ее - равносторонние треугольники. Таким образом, можно сказать, что все стороны всех треугольников боковой поверхности равны 17 см. Поэтому для того, чтобы рассчитать площадь любого из этих треугольников, потребуется применить формулу:
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²
Известно, что в основании пирамиды лежит квадрат. Таким образом, понятно, что данных равносторонних треугольников четыре. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды рассчитывается так:
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 500.548 см²
Сначала вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Под боковой поверхностью подразумевается сумма площадей всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды) на высоту боковой грани (иначе называемой апофемой) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности, P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).
Если же перед вами произвольная пирамида, то придется отдельно вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются треугольники, воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды.
Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды. Выбор формулы для расчета зависит от того, какой многоугольник лежит в основании пирамида: правильный (то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или неправильный. Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.
Усеченная пирамида – это многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию. Найти площадь боковой поверхности пирамиды совсем несложно. Ее очень проста: площадь равняется произведению половины суммы оснований по . Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности . Допустим, дана правильная пирамида. Длины основания равны b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно сначала найти периметр оснований. В большом основании он будет равен p1=4b=4*5=20 см. В меньшем основании формула будет следующей: p2=4c=4*3=12 см. Следовательно, площадь будет равна: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см.
Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, для вычисления площади всей фигуры сначала нужно будет разбить многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого, а затем сложить. В остальных же случаях, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь каждой ее боковой грани и сложить полученные результаты. В некоторых случаях задача нахождения боковой поверхности пирамиды может быть облегчена. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию или две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то основание пирамиды считается ортогональной проекцией части ее боковой поверхности, и они связаны формулами.
Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды, сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды.
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (основание) – произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие . По числу углов основания пирамиды треугольные (тетраэдр), четырехугольные и так далее.
Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.
Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани - это треугольники, имеющие одну общую вершину. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания пирамиды .
Вам понадобится
Инструкция
Сначала вычислим площадь боковой поверхности . Под боковой поверхностью подразумевается сумма всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды ) на высоту боковой грани (иначе называемой ) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности , P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).
Если же перед вами произвольная пирамида, то придется вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются , воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды .
Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды . Выбор для расчета от того, многоугольник лежит в основании пирамида: правильный (то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или . Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.
Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, то для вычисления площади всей фигуры снова придется разбивать многоугольник на треугольники, вычислять площадь каждого, а затем складывать.
Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды , сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды .
Видео по теме
Многоугольник представляет собой геометрическую фигуру, построенную путем замыкания ломаной. Различают несколько видов многоугольника, которые отличаются в зависимости от количества вершин. Вычисление площади производится для каждого вида многоугольника определенными способами.
Инструкция
Перемножьте длины сторон, если вам необходимо вычислить площадь квадрата или прямоугольника. Если необходимо узнать площадь прямоугольного треугольника, достройте его до прямоугольника, вычислить его площадь и разделить ее на два.
Используйте для вычисления площади следующий способ, если фигура не имеет больше 180 градусов (выпуклый многоугольник), при этом все ее вершины находятся в сетки координат, а сама себя не пересекает.
Опишите вокруг такого многоугольника прямоугольник, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки (осям координат). При этом хотя бы одна из вершин многоугольника должна быть вершиной прямоугольника.
Два основания могут быть только у усеченной пирамиды . В этом случае второе основание образуется сечением, параллельным большему основанию пирамиды . Найти одно из оснований можно в том случае, если известна или линейные элементы второго.
Вам понадобится
Инструкция
Если основание представляет собой правильный треугольник, найдите его площадь , умножив квадрат стороны, на корень квадратный из 3 поделенный на 4. Если основание представляет собой квадрат, возведите его сторону во вторую степень. В общем случае, для любого правильного многоугольника примените формулу S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – количество сторон правильного многоугольника, a – длина его стороны.
Сторону меньшего основания найдите, по формуле b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Здесь а – большего основания, h – высота усеченной пирамиды , α – двугранный угол при ее основании, n – количество сторон оснований (оно одинаковое). Площадь второго основания найдите аналогично первому, используя в формуле длину его стороны S=(n/4) b² ctg(180º/n).
Если основания представляют собой другие типы многоугольников, известны все стороны одного из оснований , и одна из сторон другого, то остальные стороны вычислите как подобные. Например, стороны большего основания 4, 6, 8 см. Большая сторона меньшего основания рана 4 см. Вычислите коэффициент пропорциональности, 4/8=2 (берем стороны в каждом из оснований ), и рассчитайте другие стороны 6/2=3 см, 4/2=2 см. Получим стороны 2, 3, 4 см в меньшем основании стороны. Теперь вычислите их , как площади треугольников.
Если известно соотношение соответствующих элементов в усеченной , то соотношение площадей оснований будет равно отношению квадратов этих элементов. Например, если известны соответствующие стороны оснований а и а1, то а²/а1²=S/S1.
Под площадью пирамиды обычно понимается площадь ее боковой или полной поверхности. В основании данного геометрического тела лежит многоугольник. Боковые грани имеют треугольную форму. У них есть общая вершина, которая одновременно является и вершиной пирамиды .
Вам понадобится
Инструкция
Рассмотрите данную в задании пирамиду. Определите, правильный или неправильный многоугольник лежит в ее основании. У правильного все стороны равны. Площадь в этом случае равна половине произведения периметра на радиус . Найдите периметр, умножив длину стороны l на количество сторон n, то есть P=l*n. Выразить площадь основания можно формулой Sо=1/2P*r, где P - периметр, а r - радиус вписанной окружности.
Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.
Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.
Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.
Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:
Где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.
При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.
Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.
При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.
Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.
Правильный треугольник
То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:
S = (а 2 * √3) / 4.
Квадрат
Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» - снова сторона:
Произвольный правильный n-угольник
У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.
S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).
Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.
Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение - «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:
S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.
Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:
S = n/2 * в 2 sin α.
Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.
Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .
Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .
Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .
Ответ. 10√3 см 2 .
Условие . Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.
Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.
Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.
Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .
Ответ . Искомое значение 267,576 мм 2 .
Условие . У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.
Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.
Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.
Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).
Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Ответ. 96 см 2 .
Условие. Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?
Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.
Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .
Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.
Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .
Ответ. Основания - 726√3 см 2 , боковой поверхности - 3960 см 2 , вся площадь - 5217 см 2 .
Цилиндр – это фигура, состоящая из цилиндрической поверхности и двух окружностей, расположенных параллельно. Расчет площади цилиндра – это задача геометрического раздела математики, которая решается достаточно просто. Существует несколько методов ее решения, которые в результате всегда сводятся к одной формуле.
Арамейское письмо использовалось для написания текста на одноименном языке, на котором велись торговые сделки на Ближнем Востоке примерно с 1000 г. до н. э. и до 1000 г. н. э. Оно происходит от финикийского письма. Поскольку эволюция от одного к другому б
Обмен веществ. Все живые организмы обладают способностью извлекать, преобразовывать и использовать энергию окружающей среды либо в виде питательных веществ, либо в форме солнечного излучения. Во внешнюю среду они возвращают продукты распада и преобразова
Все мы убеждены в том, что способны видеть то, что находится перед нами, точно восстанавливать в памяти важные события из прошлого, сознавать пределы своих знаний и правильно определять причинно-следственные отношения. Однако эти интуитивные убеждения час
Основными средствами называется то имущество, которое используется в качестве средств труда более 12 месяцев, стоимостью от 100 000 рублей. Учет основных средств в 1С 8.3 автоматизирован на 100%. Сначала в 1С Бухгалтерия для ОС оформляется . Далее их прин
"1С:Предприятие 8" помогло крупнейшему в Татарстане сельскохозяйственному предприятию "Сет иле" на 30% улучшить выполнение производственного плана Специалисты компании "1С:Первый БИТ" (Казань) завершили внедрение системы "1С:Бухгалтерия сельскохозяйственн
/ Учет запасов Нормативно-справочная информация: подсистема учета запасовВсю нормативно-справочную информацию, которая используется для отображения операций с запасами, можно условно поделить на две группы:Объекты аналитического учета операций с запасами