Maatriksit $A^(-1)$ nimetatakse ruutmaatriksi $A$ pöördväärtuseks, kui $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kus $E $ on identiteedimaatriks, mille järjekord on võrdne maatriksi $A$ järjekorraga.

Mitteainsuse maatriks on maatriks, mille determinant ei ole võrdne nulliga. Seega on degenereerunud maatriks selline, mille determinant on võrdne nulliga.

Pöördmaatriks $A^(-1)$ eksisteerib siis ja ainult siis, kui maatriks $A$ on mitteainsuses. Kui pöördmaatriks $A^(-1)$ on olemas, siis on see kordumatu.

Maatriksi pöördväärtuse leidmiseks on mitu võimalust ja me vaatame neist kahte. Sellel lehel käsitleme adjointmaatriksmeetodit, mida peetakse enamikus kõrgemate matemaatikakursuste puhul standardseks. Teises osas käsitletakse teist võimalust pöördmaatriksi leidmiseks (elementaarteisenduste meetod), mis hõlmab Gaussi meetodi või Gaussi-Jordani meetodi kasutamist.

Adjoint (liit)maatriksmeetod

Olgu maatriks $A_(n\times n)$ antud. Pöördmaatriksi $A^(-1)$ leidmiseks on vaja kolme sammu:

1. Leidke maatriksi $A$ determinant ja veenduge, et $\Delta A\neq 0$, s.o. et maatriks A on mittedegenereerunud.
2. Koostage maatriksi $A$ iga elemendi algebralised täiendid $A_(ij)$ ja kirjutage leitud maatriksist üles maatriks $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ algebralised täiendid.
3. Kirjutage pöördmaatriks, võttes arvesse valemit $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Maatriksit $(A^(*))^T$ nimetatakse sageli $A$ adjoint- (vastastikuseks, liitmaatriksiks).

Kui otsus tehakse käsitsi, sobib esimene meetod ainult suhteliselt väikese järjestusega maatriksite jaoks: teine ​​(), kolmas (), neljas (). Kõrgemat järku maatriksi pöördmaatriksi leidmiseks kasutatakse muid meetodeid. Näiteks Gaussi meetod, millest räägitakse teises osas.

Näide nr 1

Leia maatriksi pöördväärtus maatriksile $A=\left(\begin(massiivi) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(massiivi) \right)$.

Kuna kõik neljanda veeru elemendid on võrdsed nulliga, siis $\Delta A=0$ (st maatriks $A$ on degenereerunud). Kuna $\Delta A=0$, pole $A$-ga pöördmaatriksit.

Vastus: maatriksit $A^(-1)$ pole olemas.

Näide nr 2

Leidke maatriksi pöördväärtus $A=\left(\begin(massiivi) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiivi)\right)$. Käivitage kontroll.

Kasutame adjointmaatriksi meetodit. Esiteks leiame antud maatriksi $A$ determinandi:

$$ \Delta A=\left| \begin(massiivi) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiivi)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Kuna $\Delta A \neq 0$, siis pöördmaatriks on olemas, seega jätkame lahendust. Algebraliste komplementide leidmine

\begin(joondatud) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cpunkt 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cpunkt 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(joondatud)

Koostage algebraliste komplementide maatriks: $A^(*)=\left(\begin(massiivi) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(massiivi)\right)$.

Transponeerige saadud maatriks: $(A^(*))^T=\left(\begin(massiivi) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiivi)\right)$ (tulemus maatriksit nimetatakse sageli maatriksi $A$ adjoint- või liitmaatriksiks). Kasutades valemit $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, saame:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(massiivi) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiivi)\right) =\left(\begin(massiivi) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiivi)\right) $$

Seega leitakse pöördmaatriks: $A^(-1)=\left(\begin(massiivi) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiivi) \paremal) $. Tulemuse õigsuse kontrollimiseks piisab, kui kontrollida ühe võrrandi õigsust: $A^(-1)\cdot A=E$ või $A\cdot A^(-1)=E$. Kontrollime võrdsust $A^(-1)\cdot A=E$. Murdudega vähem töötamiseks asendame maatriksi $A^(-1)$ mitte kujul $\left(\begin(massiiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(massiivi)\right)$ aga $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiivi) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(massiiv )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiivi) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( massiiv)\parem)\cdot\left(\begin(massiivi) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiivi)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(massiivi) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(massiivi)\right) =\left(\begin(massiivi) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiivi )\right) =E $$

Vastus: $A^(-1)=\left(\begin(massiivi) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiivi)\right)$.

Näide nr 3

Leidke maatriksi pöördväärtus $A=\left(\begin(massiivi) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiivi) \right)$. Käivitage kontroll.

Alustuseks arvutame maatriksi $A$ determinandi. Niisiis, maatriksi $A$ determinant on:

$$ \Delta A=\left| \begin(massiivi) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiivi) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Kuna $\Delta A\neq 0$, siis pöördmaatriks on olemas, seega jätkame lahendust. Leiame antud maatriksi iga elemendi algebralised täiendid:

$$ \begin(joondatud) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(massiivi)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(massiivi)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(massiivi)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(massiivi)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(massiivi)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(massiivi)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(massiivi)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(massiivi)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(massiivi)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(massiivi)\right|=37. \end(joondatud) $$

Koostame algebraliste liitmiste maatriksi ja transponeerime selle:

$$ A^*=\left(\begin(massiivi) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(massiivi) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(massiivi) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiivi) \right) . $$

Kasutades valemit $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, saame:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiivi) (cc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(massiivi) \right)= \left(\begin(massiivi) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiivi) \right) $$

Seega $A^(-1)=\left(\begin(massiivi) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiivi) \right)$. Tulemuse õigsuse kontrollimiseks piisab, kui kontrollida ühe võrrandi õigsust: $A^(-1)\cdot A=E$ või $A\cdot A^(-1)=E$. Kontrollime võrdsust $A\cdot A^(-1)=E$. Murdudega vähem töötamiseks asendame maatriksi $A^(-1)$ mitte kujul $\left(\begin(massiiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiivi) \right)$, kuid kujul $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(massiivi) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiivi) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(massiivi)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(massiivi) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiivi) (cc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(massiivi) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(massiivi) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (massiivi) \right) =\left(\begin(massiivi) (koopia) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(massiivi) \right) =E $$

Kontroll läbiti edukalt, pöördmaatriks $A^(-1)$ leiti õigesti.

Vastus: $A^(-1)=\left(\begin(massiivi) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiivi) \right)$.

Näide nr 4

Leia maatriksi pöördväärtus $A=\left(\begin(massiivi) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(massiivi) \right)$.

Neljandat järku maatriksi puhul on algebraliste liitmiste abil pöördmaatriksi leidmine mõnevõrra keeruline. Selliseid näiteid leiab aga kontrolltöödest.

Pöördmaatriksi leidmiseks tuleb esmalt välja arvutada maatriksi $A$ determinant. Parim viis selles olukorras on determinandi laiendamine reas (veerus). Valime suvalise rea või veeru ja leiame valitud rea või veeru iga elemendi algebralise täienduse.

Näiteks esimese rea jaoks saame:

$$ A_(11)=\left|\begin(massiivi)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(massiivi)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(massiivi)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(massiivi)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(massiivi)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(massiivi)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(massiivi)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(massiivi)\right|=-112. $$

Maatriksi $A$ determinant arvutatakse järgmise valemiga:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(joondatud) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(joondatud) $$

Algebraline komplementmaatriks: $A^*=\left(\begin(massiivi)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(massiivi)\right)$.

Manustatud maatriks: $(A^*)^T=\left(\begin(massiivi) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(massiivi)\right)$.

Pöördmaatriks:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(massiivi) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(massiivi) \right)= \left(\begin(massiivi) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiivi) \right) $$

Soovi korral saab kontrollida samamoodi nagu eelmistes näidetes.

Vastus: $A^(-1)=\left(\begin(massiivi) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiivi) \parem) $.

Teises osas käsitletakse teist pöördmaatriksi leidmise võimalust, mis hõlmab Gaussi meetodi või Gaussi-Jordani meetodi teisenduste kasutamist.

Pöördmaatriksi leidmine on protsess, mis koosneb üsna lihtsatest sammudest. Kuid neid toiminguid korratakse nii sageli, et protsess on üsna pikk. Peaasi, et otsuse tegemisel tähelepanu ei kaotaks.

Kõige tavalisema meetodi - algebraliste liitmiste - lahendamisel vajate:

Näidete lahendamisel analüüsime neid toiminguid üksikasjalikumalt. Seniks uurime, mida ütleb pöördmaatriksiteooria.

Sest pöördmaatriks on tabav analoogia arvu pöördarvuga. Iga numbri jaoks a, mis ei ole võrdne nulliga, on olemas arv b et töö a ja b võrdne ühega: ab= 1. Number b nimetatakse arvu pöördarvuks b. Näiteks arvu 7 puhul on pöördväärtus 1/7, kuna 7*1/7=1.

pöördmaatriks , mis tuleb antud ruutmaatriksi jaoks leida AGA, nimetatakse sellist maatriksit

korrutis, mille abil maatriksid AGA paremal on identiteedimaatriks, st
. (1)

Identiteedimaatriks on diagonaalmaatriks, milles kõik diagonaalkirjed on võrdsed ühega.

Pöördmaatriksi leidmine- probleem, mida enamasti lahendatakse kahel viisil:

• algebraliste täiendite meetod, mille puhul, nagu tunni alguses märgitud, on vaja leida determinandid, mollid ja algebralised täiendid ning maatriksid transponeerida;
• Tundmatute Gaussi eliminatsioon, mis eeldab maatriksite elementaarseid teisendusi (ridade liitmine, ridade korrutamine sama arvuga jne).

Eriti uudishimulike jaoks on ka teisi meetodeid, näiteks lineaarsete teisenduste meetod. Selles õppetükis analüüsime kolme mainitud meetodit ja nende meetodite abil pöördmaatriksi leidmise algoritme.

Teoreem.Iga mitteainsuse (mitte-degenereerunud, mitteainsuse) ruutmaatriksi jaoks võib leida pöördmaatriksi ja pealegi ainult ühe. Spetsiaalse (degenereerunud, ainsuse) ruutmaatriksi jaoks pöördmaatriksit ei eksisteeri.

Ruutmaatriksit nimetatakse mitteeriline(või mitte-mandunud, mitteainsuses), kui selle determinant ei ole võrdne nulliga, ja eriline(või degenereerunud, ainsus), kui selle determinant on null.

Pöördmaatriksi saab leida ainult ruutmaatriksi jaoks. Loomulikult on ka pöördmaatriks ruut ja antud maatriksiga samas järjekorras. Maatriksit, mille jaoks võib leida pöördmaatriksi, nimetatakse inverteeritavaks maatriksiks.

Pöördmaatriksi leidmine tundmatute Gaussi eliminatsiooni abil

Esimene samm pöördmaatriksi leidmiseks Gaussi eliminatsiooni abil on maatriksile omistamine A samas järjekorras identiteedimaatriks, eraldades need vertikaalse ribaga. Saame kahekordse maatriksi. Korrutage selle maatriksi mõlemad osad arvuga , siis saame

,

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks tundmatute Gaussi eliminatsiooni abil

1. Maatriksile A määrata samas järjekorras identiteedimaatriks.

2. Teisendage saadud duaalmaatriks nii, et identiteedimaatriks saadakse selle vasakpoolses osas, siis saadakse identiteedimaatriksi asemel automaatselt parempoolses osas pöördmaatriks. Maatriks A vasakpoolses servas teisendatakse maatriksi elementaarteisendustega identiteedimaatriksiks.

2. Kui maatriksiteisenduse protsessis A identiteedimaatriksis on mis tahes reas või veerus ainult nullid, siis on maatriksi determinant võrdne nulliga ja seetõttu maatriks A on degenereerunud ja sellel pole pöördmaatriksit. Sel juhul pöördmaatriksi edasine leidmine peatub.

Näide 2 Maatriksi jaoks

leida pöördmaatriks.

ja me teisendame selle nii, et identiteedimaatriks saadakse vasakul küljel. Alustame ümberkujundamist.

Korrutage vasaku ja parema maatriksi esimene rida (-3) ja lisage see teisele reale ning seejärel korrutage esimene rida (-4) ja lisage see kolmandale reale, siis saame

.

Et võimalusel ei oleks järgnevate teisenduste käigus murdarvud, loome esmalt duaalmaatriksi vasakpoolses teises reas ühiku. Selleks korrutage teine ​​rida 2-ga ja lahutage sellest kolmas rida, siis saame

.

Liidame esimese rea teisele ja seejärel korrutame teise rea (-9)-ga ja lisame selle kolmandale reale. Siis saame

.

Seejärel jagage kolmas rida 8-ga

.

Korrutage kolmas rida 2-ga ja lisage see teisele reale. Selgub:

.

Vahetades teise ja kolmanda rea ​​kohad, saame lõpuks:

.

Näeme, et identiteedimaatriks saadakse vasakul küljel, seega saadakse pöördmaatriks paremal pool. Sellel viisil:

.

Arvutuste õigsust saate kontrollida, korrutades algse maatriksi leitud pöördmaatriksiga:

Tulemuseks peaks olema pöördmaatriks.

Lahendust saate kontrollida kasutades Interneti-kalkulaator pöördmaatriksi leidmiseks .

Näide 3 Maatriksi jaoks

leida pöördmaatriks.

Lahendus. Kahekordse maatriksi koostamine

ja me muudame selle.

Korrutame esimese rea 3-ga ja teise 2-ga ja lahutame teisest ning seejärel korrutame esimese rea 5-ga ja kolmanda 2-ga ja lahutame kolmandast reast, siis saame

See teema on õpilaste seas üks vihatumaid. Hullem, ilmselt ainult määrajad.

Nipp seisneb selles, et juba pöördelemendi mõiste (ja ma ei räägi praegu ainult maatriksitest) viitab meile korrutamise operatsioonile. Ka kooli õppekavas peetakse korrutamist keeruliseks toiminguks ja maatrikskorrutamine on üldiselt omaette teema, millele mul on pühendatud terve lõik ja videotund.

Täna me maatriksarvutuste üksikasjadesse ei lasku. Pidage lihtsalt meeles: kuidas maatrikseid tähistatakse, kuidas neid korrutatakse ja mis sellest järeldub.

Ülevaade: Maatrikskorrutamine

Kõigepealt lepime kokku noodikirjas. Maatriks $A$ suurusega $\left[ m\times n \right]$ on lihtsalt numbritabel täpselt $m$ rea ja $n$ veeruga:

\=\alussulg(\left[ \begin(maatriks) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(maatriks) \parem])_(n)\]

Et mitte kogemata ridu ja veerge kohati segi ajada (uskuge mind, eksamil võib ühiku segamini ajada kahekohaga - mis seal mõne rea kohta ikka öelda saab), vaadake lihtsalt pilti:

Maatriksrakkude indeksite määramine

Mis toimub? Kui asetada standardne koordinaatide süsteem $OXY$ ülemisse vasakusse nurka ja suunata teljed nii, et need katavad kogu maatriksi, siis saab selle maatriksi iga lahtri unikaalselt seostada koordinaatidega $\left(x;y \right) $ – see on rea ja veeru number.

Miks on koordinaatsüsteem paigutatud täpselt vasakusse ülemisse nurka? Jah, sest just sealt hakkame me igasuguseid tekste lugema. Seda on väga lihtne meeles pidada.

Miks on $x$ telg suunatud alla, mitte paremale? Jällegi on kõik lihtne: võtke standardne koordinaatsüsteem (telg $x$ läheb paremale, $y$ telg tõuseb üles) ja pöörake seda nii, et see ümbritseks maatriksit. See on 90 kraadi päripäeva pöörlemine – selle tulemust näeme pildil.

Üldiselt saime aru, kuidas maatriksi elementide indekseid määrata. Nüüd tegeleme korrutamisega.

Definitsioon. Maatriksid $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$, kui esimese veergude arv ühtib teise ridade arvuga, on nimetatakse järjekindlaks.

See on selles järjekorras. Võib olla kahemõtteline ja öelda, et maatriksid $A$ ja $B$ moodustavad järjestatud paari $\left(A;B \right)$: kui need on selles järjestuses järjepidevad, siis pole $B üldse vajalik. $ ja $ A $, need. ka paar $\left(B;A \right)$ on järjekindel.

Korrutada saab ainult järjekindlaid maatrikseid.

Definitsioon. Konsistentsete maatriksite $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$ korrutis on uus maatriks $C=\left[ m\times k \right ]$ , mille elemendid $((c)_(ij))$ arvutatakse järgmise valemiga:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Teisisõnu: maatriksi $C=A\cdot B$ elemendi $((c)_(ij))$ saamiseks tuleb võtta esimese maatriksi $i$-rida, $j$ - teise maatriksi veergu ning seejärel korrutage selle rea ja veeru elemendid. Liitke tulemused kokku.

Jah, see on karm määratlus. Sellest tulenevad kohe mitmed faktid:

1. Maatriksikorrutis on üldiselt mittekommutatiivne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Korrutamine on aga assotsiatiivne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ja isegi distributiivne: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ja jälle distributiivne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Ainuüksi korrutustehte mittekommutatiivsuse tõttu tuli korrutamise distributiivsust eraldi kirjeldada vasaku ja parema kordaja-summa jaoks.

Kui sellegipoolest selgub, et $A\cdot B=B\cdot A$, nimetatakse selliseid maatrikseid muutlikeks.

Kõigi maatriksite seas, mis seal millegagi korrutatakse, on erilisi – neid, mis mis tahes maatriksiga $A$ korrutades annavad jällegi $A$:

Definitsioon. Maatriksit $E$ nimetatakse identiteediks, kui $A\cdot E=A$ või $E\cdot A=A$. Ruutmaatriksi $A$ korral võime kirjutada:

Identiteedimaatriks on maatriksvõrrandite lahendamisel sage külaline. Ja üldse, sage külaline maatriksimaailmas. :)

Ja selle $E$ tõttu mõtles keegi välja kogu mängu, mis järgmisena kirjutatakse.

Mis on pöördmaatriks

Kuna maatriksi korrutamine on väga aeganõudev toiming (peate korrutama hulga ridu ja veerge), pole ka pöördmaatriksi kontseptsioon kõige triviaalsem. Ja see vajab selgitust.

Võtme definitsioon

Noh, on aeg teada tõde.

Definitsioon. Maatriksit $B$ nimetatakse maatriksi $A$ pöördväärtuseks, kui

Pöördmaatriksit tähistatakse $((A)^(-1))$ (mitte segi ajada astmega!), seega saab definitsiooni ümber kirjutada järgmiselt:

Näib, et kõik on äärmiselt lihtne ja selge. Kuid sellise määratluse analüüsimisel tekib kohe mitu küsimust:

1. Kas pöördmaatriks on alati olemas? Ja kui mitte alati, siis kuidas teha kindlaks: millal see on olemas ja millal mitte?
2. Ja kes ütles, et selline maatriks on täpselt üks? Mis siis, kui mõne algse maatriksi $A$ jaoks on terve hulk pöördväärtusi?
3. Kuidas kõik need "tagurpidi" välja näevad? Ja kuidas te neid tegelikult loete?

Mis puudutab arvutusalgoritme - räägime sellest veidi hiljem. Ülejäänud küsimustele vastame aga kohe. Korraldagem need eraldi väidete-lemmade kujul.

Põhiomadused

Alustame sellest, kuidas peaks maatriks $A$ välja nägema, et sellel oleks $((A)^(-1))$. Nüüd veendume, et mõlemad maatriksid peavad olema ruudukujulised ja sama suurusega: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Antud maatriks $A$ ja selle pöördväärtus $((A)^(-1))$. Siis on mõlemad maatriksid ruudukujulised ja nende järjestus $n$ on sama.

Tõestus. Kõik on lihtne. Olgu maatriks $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kuna korrutis $A\cdot ((A)^(-1))=E$ on definitsiooni järgi olemas, on maatriksid $A$ ja $((A)^(-1))$ järjekindlad selles järjekorras:

\[\begin(joona) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( joondada)\]

See on maatriksi korrutusalgoritmi otsene tagajärg: koefitsiendid $n$ ja $a$ on "transiit" ja peavad olema võrdsed.

Samal ajal on defineeritud ka pöördkorrutis: $((A)^(-1))\cdot A=E$, seega on maatriksid $((A)^(-1))$ ja $A$ samuti kooskõlas järgmises järjekorras:

\[\begin(joona) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( joondada)\]

Seega võime üldistust kaotamata eeldada, et $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Kuid vastavalt $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ definitsioonile on maatriksite mõõtmed täpselt samad:

\[\begin(joona) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(joonda)\]

Seega selgub, et kõik kolm maatriksit - $A$, $((A)^(-1))$ ja $E$ - on ruudukujulised $\left[ n\times n \right]$. Lemma on tõestatud.

No see on juba hea. Näeme, et ainult ruutmaatriksid on pööratavad. Nüüd veendume, et pöördmaatriks on alati sama.

Lemma 2. Antud maatriks $A$ ja selle pöördväärtus $((A)^(-1))$. Siis on see pöördmaatriks ainulaadne.

Tõestus. Alustame vastupidisest: olgu maatriksil $A$ vähemalt kaks pöördjuhtumit — $B$ ja $C$. Seejärel on definitsiooni kohaselt tõesed järgmised võrdsused:

\[\begin(joonda) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(joonda)\]

Lemmast 1 järeldame, et kõik neli maatriksit $A$, $B$, $C$ ja $E$ on samas järjestuses ruudud: $\left[ n\times n \right]$. Seetõttu on toode määratletud:

Kuna maatriksi korrutamine on assotsiatiivne (kuid mitte kommutatiivne!), võime kirjutada:

\[\begin(joonda) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\paremnool B=C. \\ \end(joonda)\]

Saime ainsa võimaliku variandi: kaks pöördmaatriksi koopiat on võrdsed. Lemma on tõestatud.

Ülaltoodud arutluskäik kordab peaaegu sõna-sõnalt kõigi reaalarvude $b\ne 0$ pöördelemendi kordumatuse tõestust. Ainus oluline täiendus on maatriksite mõõtmete arvestamine.

Kuid me ei tea endiselt midagi selle kohta, kas mõni ruutmaatriks on pööratav. Siin tuleb meile appi determinant – see on kõigi ruutmaatriksite põhiomadus.

Lemma 3 . Antud maatriks $A$. Kui maatriks $((A)^(-1))$ on selle pöördvõrdeline, siis on algmaatriksi determinant nullist erinev:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Tõestus. Teame juba, et $A$ ja $((A)^(-1))$ on ruutmaatriksid suurusega $\left[ n\times n \right]$. Seetõttu on igaühe jaoks võimalik arvutada determinant: $\left| A \right|$ ja $\left| ((A)^(-1)) \parem|$. Korrutise determinant on aga võrdne determinantide korrutisega:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| \right|\cdot \left| B \parem|\Paremnool \vasak| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \parem|\]

Kuid vastavalt definitsioonile $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ja $E$ determinant on alati võrdne 1-ga, nii et

\[\begin(joonda) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \parem|=1. \\ \end(joonda)\]

Kahe arvu korrutis on võrdne ühega ainult siis, kui kõik need arvud erinevad nullist:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \parem|\ne 0.\]

Nii selgub, et $\left| A \right|\ne 0$. Lemma on tõestatud.

Tegelikult on see nõue üsna loogiline. Nüüd analüüsime pöördmaatriksi leidmise algoritmi – ja saab täiesti selgeks, miks põhimõtteliselt ei saa nulldeterminandiga pöördmaatriksit eksisteerida.

Kuid kõigepealt sõnastagem "abi" määratlus:

Definitsioon. Degenereerunud maatriks on ruutmaatriks suurusega $\left[ n\times n \right]$, mille determinant on null.

Seega võime kinnitada, et iga pööratav maatriks on mittedegenereerunud.

Kuidas leida pöördmaatriksit

Nüüd kaalume universaalset algoritmi pöördmaatriksite leidmiseks. Üldiselt on kaks üldtunnustatud algoritmi ja me käsitleme täna ka teist.

See, mida nüüd kaalutakse, on väga tõhus maatriksite jaoks, mille suurus on $\left[ 2\x 2 \right]$ ja - osaliselt - suurusega $\left[ 3\x 3 \right]$. Kuid alates suurusest $\left[ 4\x 4 \right]$ on parem seda mitte kasutada. Miks - nüüd saate kõigest aru.

Algebralised liitmised

Sea end valmis. Nüüd hakkab valu olema. Ei, ära muretse: ilus õde seelikus, pitsiga sukad ei tule sulle ja ei tee sulle tagumikku süsti. Kõik on palju proosalisem: teie juurde tulevad algebralised täiendused ja Tema Majesteet "Union Matrix".

Alustame peamisest. Olgu ruutmaatriks suurusega $A=\left[ n\times n \right]$, mille elementide nimeks on $((a)_(ij))$. Seejärel saab iga sellise elemendi jaoks määratleda algebralise täienduse:

Definitsioon. Algebraline täiendus $((A)_(ij))$ elemendile $((a)_(ij))$ maatriksi $i$-ndas reas ja $j$-ndas veerus $A=\left [ n \times n \right]$ on vormi konstruktsioon

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kus $M_(ij)^(*)$ on maatriksi determinant, mis saadakse algsest $A$-st, kustutades sama $i$-nda rea ​​ja $j$-nda veeru.

Jällegi. Maatriksi elemendi algebraline täiendus koordinaatidega $\left(i;j \right)$ on tähistatud kui $((A)_(ij))$ ja arvutatakse vastavalt skeemile:

1. Kõigepealt kustutame algsest maatriksist $i$-rea ja $j$-nda veeru. Saame uue ruutmaatriksi ja tähistame selle determinandina $M_(ij)^(*)$.
2. Seejärel korrutame selle determinandi väärtusega $((\left(-1 \right))^(i+j))$ – alguses võib see avaldis tunduda jahmatav, kuid tegelikult leiame lihtsalt $ ees oleva märgi M_(ij)^(*) $.
3. Me loeme - saame konkreetse numbri. Need. algebraline liitmine on lihtsalt arv, mitte mingi uus maatriks jne.

Maatriksit $M_(ij)^(*)$ nimetatakse elemendi $((a)_(ij))$ komplementaarseks minooriks. Ja selles mõttes on ülaltoodud algebralise komplemendi määratlus keerukama definitsiooni erijuhtum - see, mida käsitlesime determinandi õppetunnis.

Oluline märkus. Tegelikult defineeritakse "täiskasvanute" matemaatikas algebralised liitmised järgmiselt:

1. Ruutmaatriksis võtame $k$ rida ja $k$ veergu. Nende ristumiskohas saame maatriksi suurusega $\left[ k\times k \right]$ — selle determinanti nimetatakse järgu $k$ minoorseks ja tähistatakse $((M)_(k))$.
2. Seejärel kriipsutame need "valitud" $k$ read ja $k$ veerud maha. Jällegi saame ruutmaatriksi – selle determinanti nimetatakse komplementaarseks minooriks ja tähistatakse $M_(k)^(*)$.
3. Korrutage $M_(k)^(*)$ arvuga $((\left(-1 \right))^(t))$, kus $t$ on (tähelepanu!) kõigi valitud ridade arvude summa ja veerud. See on algebraline liitmine.

Heitke pilk kolmandale sammule: tegelikult on 2 000 $ tingimuste summa! Teine asi on see, et $k=1$ korral saame ainult 2 terminit - need on samad $i+j$ - elemendi $((a)_(ij)) $ "koordinaadid", mille jaoks me oleme otsib algebralist täiendit.

Seega kasutame täna veidi lihtsustatud määratlust. Aga nagu hiljem näeme, on sellest enam kui küll. Palju olulisem on järgmine:

Definitsioon. Liitmaatriks $S$ ruutmaatriksile $A=\left[ n\times n \right]$ on uus maatriks suurusega $\left[ n\times n \right]$, mis saadakse $A$ asendades $(( a)_(ij))$ algebraliste täiendustega $((A)_(ij))$:

\\Paremnool S=\left[ \begin(maatriks) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(maatriks) \parem]\]

Esimene mõte, mis selle definitsiooni mõistmise hetkel tekib, on "nii palju peate kokku arvestama!" Lõdvestu: sa pead arvestama, aga mitte nii palju. :)

Noh, see kõik on väga tore, aga milleks see vajalik on? Aga miks.

Peamine teoreem

Lähme natuke tagasi. Pidage meeles, et Lemma 3 väitis, et inverteeritav maatriks $A$ on alati mitteainsus (st selle determinant on nullist erinev: $\left| A \right|\ne 0$).

Seega on ka vastupidi: kui maatriks $A$ ei ole degenereerunud, siis on see alati inverteeritav. Ja seal on isegi otsinguskeem $((A)^(-1))$. Vaata järgi:

Pöördmaatriksi teoreem. Olgu antud ruutmaatriks $A=\left[ n\times n \right]$ ja selle determinant on nullist erinev: $\left| A \right|\ne 0$. Siis on pöördmaatriks $((A)^(-1))$ ja see arvutatakse järgmise valemiga:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Ja nüüd - kõik sama, kuid loetava käekirjaga. Pöördmaatriksi leidmiseks vajate:

1. Arvutage determinant $\left| A \right|$ ja veenduge, et see ei oleks nullist erinev.
2. Koostage liitmaatriks $S$, s.o. loendage 100500 algebralist liitmist $((A)_(ij))$ ja asetage need paika $((a)_(ij))$.
3. Transponeerige see maatriks $S$ ja korrutage see mingi arvuga $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Ja see ongi kõik! Leitakse pöördmaatriks $((A)^(-1))$. Vaatame näiteid:

\[\left[ \begin(maatriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(maatriks) \right]\]

Lahendus. Kontrollime pöörduvust. Arvutame determinandi:

\[\left| A \right|=\left| \begin(maatriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(maatriks) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant erineb nullist. Seega on maatriks ümberpööratav. Loome ametiühingu maatriksi:

Arvutame algebralised liitmised:

\[\begin(joona) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\parem|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\parem|=3. \\ \end(joonda)\]

Pöörake tähelepanu: determinandid |2|, |5|, |1| ja |3| on $\left[ 1\times 1 \right]$ suuruste maatriksite determinandid, mitte moodulid. Need. kui determinantides olid negatiivsed arvud, ei ole vaja "miinust" eemaldada.

Kokku näeb meie ametiühingu maatriks välja selline:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(massiivi) \right])^(T))=\left[ \begin (massiivi)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiivi) \right]\]

OK, nüüd on kõik läbi. Probleem lahendatud.

Vastus. $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiivi) \right]$

Ülesanne. Leidke pöördmaatriks:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right] \]

Lahendus. Jällegi käsitleme määrajat:

\[\begin(joona) & \left| \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiiv) \right|=\begin(maatriks ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(maatriks)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(joonda)\]

Determinant erineb nullist - maatriks on pööratav. Aga nüüd on see kõige tina: peate lugema koguni 9 (üheksa, pagan!) algebralist liitmist. Ja igaüks neist sisaldab määrajat $\left[ 2\times 2 \right]$. Lendas:

\[\begin(maatriks) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(maatriks) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(maatriks) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(maatriks) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(maatriks) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(maatriks) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(maatriks) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(maatriks) \right|=2; \\ \end(maatriks)\]

Lühidalt, liidu maatriks näeb välja selline:

Seetõttu on pöördmaatriks järgmine:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(maatriks) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(maatriks) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(massiivi) \right]\]

Noh, see on kõik. Siin on vastus.

Vastus. $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(massiivi) \right ]$

Nagu näete, teostasime iga näite lõpus kontrolli. Sellega seoses oluline märkus:

Ära ole laisk kontrollima. Korrutage algne maatriks leitud pöördväärtusega – peaksite saama $E$.

Seda kontrolli on palju lihtsam ja kiirem teha, kui otsida viga edasistes arvutustes, kui lahendate näiteks maatriksvõrrandit.

Alternatiivne viis

Nagu ma ütlesin, töötab pöördmaatriksi teoreem hästi suuruste $\left[ 2\x 2 \right]$ ja $\left[ 3\x 3 \right]$ puhul (viimasel juhul pole see nii "tore" enam). ”), kuid suurte maatriksite puhul algab kurbus.

Kuid ärge muretsege: on olemas alternatiivne algoritm, mille abil saab rahulikult pöördväärtuse leida isegi maatriksi $\left[ 10\times 10 \right]$ jaoks. Kuid nagu sageli juhtub, vajame selle algoritmi arvestamiseks veidi teoreetilist tausta.

Elementaarsed teisendused

Maatriksi erinevate teisenduste hulgas on mitu erilist - neid nimetatakse elementaarseteks. Selliseid teisendusi on täpselt kolm:

1. Korrutamine. Võite võtta $i$-nda rea ​​(veeru) ja korrutada selle mis tahes arvuga $k\ne 0$;
2. Lisand. Lisage $i$-ndale reale (veerule) mis tahes muu $j$-s rida (veerg), mis on korrutatud mis tahes arvuga $k\ne 0$ (muidugi on võimalik ka $k=0$, aga mis mõte sellel on Sellest ei muutu aga midagi).
3. Permutatsioon. Võtke $i$-nda ja $j$-nda rida (veerud) ja vahetage need.

Miks neid teisendusi nimetatakse elementaarseteks (suurte maatriksite puhul ei tundu need nii elementaarsed) ja miks neid on ainult kolm – need küsimused jäävad tänasest tunnist välja. Seetõttu me detailidesse ei lasku.

Teine asi on oluline: me peame kõik need perverssused läbi viima seotud maatriksiga. Jah, jah, sa kuulsid õigesti. Nüüd on veel üks määratlus – viimane tänases tunnis.

Lisatud Matrix

Kindlasti lahendasite koolis võrrandisüsteeme liitmise meetodil. Noh, lahutage ühelt realt teine, korrutage mõni rida arvuga - see on kõik.

Niisiis: nüüd on kõik endine, kuid juba "täiskasvanu moodi". Valmis?

Definitsioon. Olgu antud maatriks $A=\left[ n\times n \right]$ ja sama suur maatriks $E$ $n$. Seejärel seotud maatriks $\left[ A\left| E\õige. \right]$ on uus $\left[ n\times 2n \right]$ maatriks, mis näeb välja järgmine:

\[\left[ A\left| E\õige. \right]=\left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(massiivi) \right]\]

Ühesõnaga võtame maatriksi $A$, paremale omistame sellele vajaliku suurusega identiteedimaatriksi $E$, eraldame need ilu huvides vertikaalse ribaga - siin on see lisatud. :)

Mis on saak? Ja siin on see, mis:

Teoreem. Olgu maatriks $A$ inverteeritav. Vaatleme adjointmaatriksit $\left[ A\left| E\õige. \right]$. Kui kasutate elementaarstringi teisendused tuua see kujule $\left[ E\left| B\right. \right]$, st. ridade korrutamisel, lahutamisel ja ümberkorraldamisel saadakse $A$-st parempoolne maatriks $E$, siis vasakpoolne maatriks $B$ on $A$ pöördväärtus:

\[\left[ A\left| E\õige. \paremale]\vasakule[ E\vasak| B\right. \right]\Paremnool B=((A)^(-1))\]

Nii lihtne see ongi! Lühidalt, pöördmaatriksi leidmise algoritm näeb välja järgmine:

1. Kirjutage seotud maatriks $\left[ A\left| E\õige. \right]$;
2. Tehke elementaarseid stringide teisendusi, kuni kuvatakse $A$ asemel parempoolne tekst $E$;
3. Loomulikult ilmub midagi ka vasakule - teatud maatriks $B$. See on vastupidine;
4. KASUM! :)

Muidugi, palju lihtsam öelda kui teha. Vaatame siis paari näidet: suuruste $\left[ 3\x 3 \right]$ ja $\left[ 4\x 4 \right]$ jaoks.

Ülesanne. Leidke pöördmaatriks:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right]\ ]

Lahendus. Koostame lisatud maatriksi:

\[\left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ja 1 \\\end(massiivi) \right]\]

Kuna algse maatriksi viimane veerg on täidetud ühedega, lahutage esimene rida ülejäänud osast:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) \allanool \\ -1 \\ -1 \\\end(maatriks)\to \\ & \to \vasakule [ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joonda)\]

Rohkem üksusi pole, välja arvatud esimene rida. Kuid me ei puuduta seda, vastasel juhul hakkavad äsja eemaldatud üksused kolmandas veerus "paljunema".

Kuid teise rea saame viimasest kaks korda lahutada - vasakus alanurgas saame ühiku:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) \ \\ \allanool \\ -2 \\\end(maatriks)\to \\ & \left [ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joonda)\]

Nüüd saame lahutada viimase rea esimesest ja kaks korda teisest - sel viisil "nullime" esimese veeru:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(maatriks)\to \\ & \ \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joona)\]

Korrutage teine ​​rida -1-ga ja lahutage see esimesest 6 korda ja lisage viimasele üks kord:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiiv)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) -6 \\ \üles-alla \\ +1 \\\end (maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joona)\]

Jääb vaid ridade 1 ja 3 vahetamine:

\[\left[ \begin(massiivi)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(massiivi) \right]\]

Valmis! Paremal on vajalik pöördmaatriks.

Vastus. $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(massiivi) \right ]$

Ülesanne. Leidke pöördmaatriks:

\[\left[ \begin(maatriks) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(maatriks) \parem]\]

Lahendus. Jällegi koostame lisatud:

\[\left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\]

Laename natuke, muretseme, kui palju me peame nüüd kokku lugema ... ja hakkame loendama. Alustuseks nullistame esimese veeru, lahutades ridadest 2 ja 3 rea 1:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\begin(maatriks) \allanool \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joona)\]

Me täheldame ridadel 2-4 liiga palju "miinuseid". Korrutage kõik kolm rida -1-ga ja seejärel põletage kolmas veerg läbi, lahutades ülejäänud rea 3:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(massiivi) \right]\begin(maatriks) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (massiivi) \right]\begin(maatriks) -2 \\ -1 \\ \ülesallanool \\ -2 \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joona)\]

Nüüd on aeg "praadida" algse maatriksi viimane veerg: lahutada rida 4 ülejäänud osast:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiiv ) \right]\begin(maatriks) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joonda)\]

Viimane veerg: "põletage" teine ​​veerg maha, lahutades rea 2 reast 1 ja 3:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( massiiv) \right]\begin(maatriks) 6 \\ \üles-allanool \\ -5 \\ \ \\\end(maatriks)\to \\ & \to \left[ \begin(massiivi)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiivi) \right] \\ \end(joona)\]

Ja jälle identiteedimaatriks vasakul, seega pöördvõrdeline paremal. :)

Vastus. $\left[ \begin(maatriks) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(maatriks) \right]$

OK, nüüd on kõik läbi. Kontrollige ise - ma olen vanarauaks. :)

Maatriksit A ​​-1 nimetatakse maatriksi A suhtes pöördmaatriksiks, kui A * A -1 \u003d E, kus E on n-ndat järku identiteedimaatriks. Pöördmaatriks saab eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks.

Teenindusülesanne. Kasutades seda teenust võrgus, leiate algebralisi liitmisi, transponeeritud maatriksit A ​​T , liitmaatriksit ja pöördmaatriksit. Lahendus viiakse läbi otse saidil (veebis) ja see on tasuta. Arvestustulemused esitatakse aruandena Wordi formaadis ja Exceli formaadis (st lahendust on võimalik kontrollida). vaata disaini näidet.

Juhend. Lahenduse saamiseks peate määrama maatriksi mõõtme. Järgmisena täitke uues dialoogiboksis maatriks A .

Vaata ka Jordani-Gaussi meetodi pöördmaatriksit

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks

1. Transponeeritud maatriksi A T leidmine.
2. Algebraliste liitmiste definitsioon. Asendage maatriksi iga element selle algebralise täiendusega.
3. Pöördmaatriksi koostamine algebralistest liitmistest: saadud maatriksi iga element jagatakse algse maatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.

Edasi pöördmaatriks algoritm sarnaselt eelmisega, välja arvatud mõned sammud: kõigepealt arvutatakse algebralised täiendid ja seejärel määratakse liitmaatriks C.

1. Määrake, kas maatriks on ruudukujuline. Kui ei, siis pole selle jaoks pöördmaatriksit.
2. Maatriksi A determinandi arvutamine. Kui see ei ole võrdne nulliga, jätkame lahendust, vastasel juhul pöördmaatriksit ei eksisteeri.
3. Algebraliste liitmiste definitsioon.
4. Liitmaatriksi (vastastikune, adjunktne) täitmine C .
5. Pöördmaatriksi koostamine algebralistest liitmistest: liitmaatriksi C iga element jagatakse algmaatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.
6. Tehke kontroll: korrutage originaal ja saadud maatriksid. Tulemuseks peaks olema identiteedimaatriks.

Näide nr 1. Kirjutame maatriksi kujul:

Algebralised liitmised. ∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Teine algoritm pöördmaatriksi leidmiseks

Esitame veel ühe skeemi pöördmaatriksi leidmiseks.

1. Leia antud ruutmaatriksi A determinant.
2. Leiame algebralisi liite maatriksi A kõikidele elementidele.
3. Veergudesse kirjutame ridade elementide algebralised täiendid (transpositsioon).
4. Saadud maatriksi iga elemendi jagame maatriksi A determinandiga.

Nagu näete, saab transponeerimisoperatsiooni rakendada nii alguses, algse maatriksi kohal kui ka lõpus, saadud algebraliste liitmiste kohal.

Erijuhtum: Pöördväärtus identiteedimaatriksi E suhtes on identiteedimaatriks E .

ALGEEBRALISED LISANDID JA ALAALANE

Olgem kolmandat järku determinant: .

Alaealine sellele elemendile vastav aij kolmandat järku determinandiks nimetatakse teist järku determinandi, mis saadakse etteantust, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas antud element seisab, s.t. i-th rida ja j-s veerg. Minorid, mis vastavad antud elemendile aij me tähistame M ij.

Näiteks, alaealine M12 elemendile vastav a 12, saab olema määraja , mis saadakse antud determinandist 1. rea ja 2. veeru kustutamisel.

Seega näitab kolmandat järku determinandi määrav valem, et see determinant on võrdne 1. rea elementide ja neile vastavate minoorsete korrutiste summaga; samas kui elemendile vastav moll a 12, võetakse “–” märgiga, st. võib nii kirjutada

.

(1)

Samamoodi võib teist ja kõrgemat järku determinantide jaoks kasutusele võtta alaealiste mõisted.

Tutvustame veel üht kontseptsiooni.

Algebraline liitmine element aij determinanti nimetatakse selle minoorseks M ij korrutatuna (–1) i+j .

Algebralise elemendi liitmine aij tähistatud A ij.

Definitsioonist saame, et seost elemendi algebralise täiendi ja selle molli vahel väljendab võrdsus A ij= (–1) i+j M ij .

Näiteks,

Näide. Antud determinant. Otsi A 13, A 21, A 32.

On lihtne näha, et kasutades elementide algebralisi liitmisi, saab valemi (1) kirjutada järgmiselt:

Sarnaselt selle valemiga võib saada determinandi jaotuse mis tahes rea või veeru elementide vahel.

Näiteks determinandi lagunemise 2. rea elementide üle saab saada järgmiselt. Determinandi omaduse 2 järgi on meil:

Laiendame saadud determinanti 1. rea elementide võrra.

.

(2)

Siit sest teist järku determinandid valemis (2) on elementide minoorsed 21, 22, 23. Seega , s.t. oleme saanud determinandi laienduse 2. rea elementide võrra.

Samamoodi võib saada determinandi lagunemise üle kolmanda rea ​​elementide. Kasutades determinantide omadust 1 (transponeerimisel), saab näidata, et sarnased laiendused kehtivad ka veeruelementide laienduste puhul.

Seega on järgmine teoreem tõene.

Teoreem (determinandi laiendamise kohta antud reas või veerus). Determinant on võrdne selle mis tahes rea (või veeru) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

Kõik eelnev kehtib mis tahes kõrgema järgu determinantide kohta.

Näited.

PÖÖRDMAATRIKS

Pöördmaatriksi mõiste võetakse kasutusele ainult selleks ruutmaatriksid.

Kui a A on siis ruutmaatriks tagurpidi selle jaoks on maatriks tähistatud maatriks A-1 ja tingimuse rahuldamine. (See määratlus võetakse kasutusele analoogia põhjal arvude korrutamisega)