Формулировка

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы - участнику игры заранее известны следующие правила:

• автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
• ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;
• если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны 1/2, вне зависимости от первоначального выбора.

Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C . Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3.

Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Где 1/2 - условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0".

В результате выражения принимают вид:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь (тогда ведущий откроет вторую проигрышную и вам останется поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете с вероятностью 2/3.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей , поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла , т.е. парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором - ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново - и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

Дадим еще одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, т.е. из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, т.е., если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 2/3, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

Упоминания

• В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачу: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь с автомобилем. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
• В романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа » главные герои при помощи такого приёма выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
• В телесериале «4исла » (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.
• Парадокс Монти Холла обсуждается в дневнике героя повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки».
• Парадокс Монти Холла проверялся Разрушителями Легенд

См. также

• Парадокс Бертрана (англ.)

Ссылки

	Парадокс Монти Холла в Викиучебнике
	Парадокс Монти Холла на Викискладе

• Интерактивный прототип: для тех, кто хочет надурить (генерация происходит после первого выбора)
• Интерактивный прототип: реальный прототип игры (генерация карточек происходит до выбора, работа прототипа прозрачна)
• Объясняющий видеоролик на сайте Smart Videos .ru

• Weisstein, Eric W. Парадокс Монти Холла (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Парадокс Монти Холла на сайте телешоу Let’s Make a deal
• Отрывок из книги С.Лукьяненко , в котором используется парадокс Монти Холла
• Ещё одно решение по Байесу Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета

Литература

• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, - М .: Высшее образование. 2005
• Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." журнал The Mathematical Intelligencer , 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• Parade Magazine от 17 февраля .
• vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля .
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist , 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life . Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Парадокс Монти Холла" в других словарях:

В поисках автомобиля, игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3 ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать? Парадокс Монти Холла одна из известных задач теории… … Википедия

- (Парадокс галстуков) известный парадокс, похожий на задачу о двух конвертах, также демонстрирующий особенности субъективного восприятия теории вероятностей. Суть парадокса: двое мужчин дарят друг другу на Рождество галстуки, купленные их… … Википедия

Теория вероятностей - раздел математики, который готов запутать самих математиков. В отличие от остальных, точных и незыблемых догм этой науки, данная область кишит странностями и неточностями. В этот раздел совсем недавно добавили так сказать новый параграф - парадокс Монти Холла. Это, в общем, задача, но решается она совсем не так, как привычные нам школьные или университетские.

История происхождения

Над парадоксом Монти Холла люди ломают свои головы, начиная с далекого 1975 года. Но начать стоит с 1963. Именно тогда на экраны вышло телешоу под названием Let"s make a deal, что переводится как "Давайте заключим сделку". Его ведущим стал никто иной как Монти Холл, который подкидывал зрителям порой неразрешимые задачки. Одной из наиболее ярких стала та, которую он представил в 1975 году. Задача стала частью математической теории вероятности и парадоксов, которые укладываются в ее рамки. Стоит также отметить, что данное явление стало причиной сильных дискуссий и жесткой критики со стороны ученых. Парадокс Монти Холла был опубликован в журнале Parade в 1990 году, и с тех пор стал еще более обсуждаемым и спорным вопросом всех времен и народов. Ну а теперь переходим непосредственно к его формулировке и трактовке.

Формулировка проблемы

Существует множество трактовок данного парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими по одной козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и, допустим, вы останавливаетесь на номере 1. Пока что вы не знаете, что за этой самой первой дверью, так как вам открывают третью, и показывают, что за ней коза. Следовательно, вы пока что не проиграли, ведь вы не выбрали ту дверь, которая скрывает проигрышный вариант. Следовательно, ваши шансы на получение машины возрастают.

Но тут ведущий предлагает вам изменить решение. Перед вами уже две двери, за одной коза, за другой желанный приз. Именно в этом и заключается суть проблемы. Кажется, что какую бы дверь из двух вы ни выбрали, шансы будут 50 на 50. Но на самом деле, если вы поменяете решение, вероятность того, что вы победите, станет больше. Как так?

Первый выбор, который вы делаете в этой игре - случайный. Вы никак не можете даже отдаленно догадываться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому рандомно указываете на первую попавшуюся. Ведущий же в свою очередь знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую указали вы, и третья без приза, которую он вам и открывает в качестве первой подсказки. Вторая же подсказка кроется в самом его предложении сменить выбор.

Теперь вы уже будете выбирать не наугад одну из трех, а сможете даже изменить свое решение, чтобы получить желаемый приз. Именно предложение ведущего дает человеку веру в то, что автомобиль находится действительно не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и заключается вся суть парадокса, так как, по сути, выбирать (хоть уже из двух, а не из трех) все равно приходится наугад, но шансы на победу возрастают. Как показывает статистика, из 30-ти игроков, которые поменяли свое решение, машину выиграли 18. А это 60%. А из тех же 30-ти человек, которые решение не изменили - всего 11, то есть 36%.

Трактовка в цифрах

Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока разбивает двери на две группы. Вероятность того, что приз расположен за дверью, которую вы выбрали, составляет 1/3, а за теми дверьми, что остались 2/3. Ведущий далее открывает одну из дверей второй группы. Таким образом он переносит всю оставшуюся вероятность, 2/3, на одну дверь, которую вы не выбрали и которую он не открывал. Логично, что после таких расчетов выгоднее будет сменить свое решение. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все-таки имеется. Порой ведущие лукавят, так как вы изначально можете ткнуть на правильную, призовую дверь, а после от нее добровольно отказаться.

Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. Тут дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области, как нам кажется, не вкладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и вычислениям. Предлагаем ниже ознакомиться с другими парадоксами теории вероятности, которые имеют нечто общее с тем, который был описан выше.

Парадокс мальчика и девочки

Задачка, на первый взгляд, абсурдная, но она строго подчиняется математической формуле и имеет два варианта решения. Итак, у некого мужчины двое детей. Один из них наверняка мальчик. Какова вероятность того, что мальчиком окажется второй?

Вариант 1. Мы рассматриваем все комбинации двоих детей в семье:

• Девочка/девочка.
• Девочка/мальчик.
• Мальчик/девочка.
• Мальчик/мальчик.

Первая комбинации нам очевидно не подходит, поэтому, исходя из трех последних, мы получаем вероятность в 1/3 того, что вторым ребенком окажется маленький мужчина.

Вариант 2. Если же представить себе такой случай на практике, откинув дроби и формулы, то, исходя из того факта, что на Земле есть только два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, составляет 1/2.

Этот опыт показывает нам, как лихо можно манипулировать статистикой. Итак, "спящей красавице" вкалывают снотворное и кидают монетку. Если выпадает орел, то ее будят и эксперимент прекращается. Если же выпадает решка, то ее будят, сразу делая второй укол, и она забывает о том, что просыпалась, а после этого вновь пробуждают лишь на второй день. После полного пробуждения "красавице" неизвестно, в какой день она открыла глаза, или какова вероятность того, что монета упала решкой. По первому варианту решения вероятность выпадения решки (или орла) составляет 1/2. Суть второго варианта заключается в том, что, если проводить эксперимент 1000 раз, то в случае с орлом "красавицу" будут будить 500 раз, а с редкой - 1000. Теперь уже вероятность выпадения решки составляет 2/3.

«Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда - и которые, тем не менее, подтверждены наукой. «Теории и практики» вспомнили самые известные парадоксы.

Проблема Монти Холла

Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе.

Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?»

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы - менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой - с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

Задача трех узников

Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен - значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

Парадокс двух конвертов

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом - сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы - то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный - сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера , где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии - менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 - небольшую сумму по вашим прикидкам - стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

Парадокс мальчика и девочки

Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что и второй - тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Вариант 1

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

Девочка/Девочка

Девочка/Мальчик

Мальчик/Девочка

Мальчик/Мальчик

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта - а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Вариант 2

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок - тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором - мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.

В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ. Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».

Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

«Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Подсказка

Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?

Решение

Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.

Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.

Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью, мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.

Послесловие

Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав?»

Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая?»

Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример: вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.

Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.

Ответ Монти Холла Стиву Селвину

Г-ну Стиву Селвину,
доценту биостатистики,
Калифорнийский университет, Беркли.

Уважаемый Стив,

Благодарю Вас за то, что прислали мне задачу из «Американского статистика».

Хотя я и не изучал статистику в университете, я знаю, что цифры всегда можно использовать в свою пользу, если бы я хотел ими манипулировать. Ваши рассуждения не учитывают одного существенного обстоятельства: после того как первый ящик оказывается пустым, участник уже не может поменять свой выбор. Так что вероятности остаются теми же: один из трёх, не так ли? Ну и, конечно, после того как один из ящиков оказывается пустым, шансы не становятся 50 на 50, а остаются теми же - один из трёх. Участнику только кажется, что, избавившись от одного ящика, он получает больше шансов. Вовсе нет. Два к одному против него, как было, так и осталось. И если Вы вдруг придёте ко мне на шоу, правила останутся теми же и для Вас: никакой смены ящиков после выбора.

В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.

В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ . Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».

Задача

Вы оказались на шоу Монти Холла в роли участника - и в заключительный момент, открыв дверь с козой, ведущий предложил вам поменять свой выбор. Повлияет ли ваше решение - согласиться или нет - на вероятность выигрыша?

Подсказка

Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?

Решение

Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.

Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.

Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью, мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.

Послесловие

Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав? »

Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая? »

Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример: вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.

Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.