Matica $A^(-1)$ sa nazýva inverzná k štvorcovej matici $A$, ak $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kde $E $ je matica identity, ktorej poradie sa rovná poradiu matice $A$.

Nesingulárna matica je matica, ktorej determinant sa nerovná nule. Degenerovaná matica je teda taká, ktorej determinant sa rovná nule.

Inverzná matica $A^(-1)$ existuje vtedy a len vtedy, ak matica $A$ nie je jednotná. Ak existuje inverzná matica $A^(-1)$, potom je jedinečná.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť inverznú hodnotu matice, a my sa pozrieme na dva z nich. Táto stránka sa bude zaoberať metódou adjoint matice, ktorá sa považuje za štandardnú vo väčšine vyšších kurzov matematiky. Druhý spôsob hľadania inverznej matice (metóda elementárnych transformácií), ktorý zahŕňa použitie Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy, je uvažovaný v druhej časti.

Metóda adjoint (zjednotenia) matice

Nech je daná matica $A_(n\krát n)$. Na nájdenie inverznej matice $A^(-1)$ sú potrebné tri kroky:

1. Nájdite determinant matice $A$ a uistite sa, že $\Delta A\neq 0$, t.j. že matica A je nedegenerovaná.
2. Zložte algebraické doplnky $A_(ij)$ každého prvku matice $A$ a zapíšte maticu $A_(n\krát n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ z nájdeného algebraické doplnky.
3. Napíšte inverznú maticu berúc do úvahy vzorec $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matica $(A^(*))^T$ sa často označuje ako adjungovaná (vzájomná, spriaznená) matica $A$.

Ak sa rozhodnutie urobí manuálne, potom je prvá metóda dobrá iba pre matice relatívne malých objednávok: druhá (), tretia (), štvrtá (). Na nájdenie inverznej matice pre maticu vyššieho rádu sa používajú iné metódy. Napríklad Gaussova metóda, o ktorej je reč v druhej časti.

Príklad #1

Nájsť maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(pole) \vpravo)$.

Pretože všetky prvky štvrtého stĺpca sú rovné nule, potom $\Delta A=0$ (t.j. matica $A$ je degenerovaná). Pretože $\Delta A=0$, neexistuje žiadna inverzná matica k $A$.

Odpoveď: matica $A^(-1)$ neexistuje.

Príklad č. 2

Nájdite maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\right)$. Spustite kontrolu.

Používame metódu adjungovanej matice. Najprv nájdime determinant danej matice $A$:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Keďže $\Delta A \neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Hľadanie algebraických doplnkov

\začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(zarovnané)

Zostavte maticu algebraických doplnkov: $A^(*)=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(pole)\right)$.

Transponujte výslednú maticu: $(A^(*))^T=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\right)$ (výsledná matica sa často nazýva adjungovaná alebo zjednotená matica k matici $A$). Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ máme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\vpravo) =\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\right) $$

Takže sa nájde inverzná matica: $A^(-1)=\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole) \vpravo) $. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujme rovnosť $A^(-1)\cdot A=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ koniec (pole)\vpravo)$, ale ako $-\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ koniec(pole )\vpravo)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( pole)\vpravo)\cdot\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(pole) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(pole)\right) =\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole )\vpravo) =E $$

Odpoveď: $A^(-1)=\vľavo(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \koniec(pole)\vpravo)$.

Príklad č. 3

Nájdite inverznú hodnotu matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)$. Spustite kontrolu.

Začnime výpočtom determinantu matice $A$. Takže determinant matice $A$ je:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Keďže $\Delta A\neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Nájdeme algebraické doplnky každého prvku danej matice:

$$ \začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(pole)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(pole)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(pole)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(pole)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(pole)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(pole)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(pole)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(pole)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(pole)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(pole)\right|=37. \end(zarovnané) $$

Zostavíme maticu algebraických sčítaní a transponujeme ju:

$$ A^*=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\koniec (pole) \vpravo); \; (A^*)^T=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo) . $$

Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dostaneme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\koniec(pole) \vpravo)= \ľavý(\začiatok(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \koniec (pole) \vpravo) $$

Takže $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujeme rovnosť $A\cdot A^(-1)=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$, ale ako $\frac(1)(26)\ cdot \left( \začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\začiatok(pole)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\koniec (pole) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(pole) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(pole) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end (pole) \right) =E $$

Kontrola prebehla úspešne, inverzná matica $A^(-1)$ bola nájdená správne.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$.

Príklad č. 4

Nájdite inverznú maticu k $A=\left(\begin(pole) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \koniec(pole) \vpravo)$.

Pre maticu štvrtého rádu je hľadanie inverznej matice pomocou algebraických sčítaní trochu ťažké. Takéto príklady sa však nachádzajú v kontrolných prácach.

Ak chcete nájsť inverznú maticu, musíte najskôr vypočítať determinant matice $A$. Najlepší spôsob, ako to urobiť v tejto situácii, je rozšíriť determinant v riadku (stĺpci). Vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec a nájdeme algebraický doplnok každého prvku vybraného riadka alebo stĺpca.

Napríklad pre prvý riadok dostaneme:

$$ A_(11)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(pole)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(pole)\right|=-112. $$

Determinant matice $A$ sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \začiatok(zarovnané) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(zarovnané) $$

Matica algebraického doplnku: $A^*=\left(\begin(pole)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Priložená matica: $(A^*)^T=\left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Inverzná matica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \koniec (pole) \vpravo) $$

Kontrola, ak je to potrebné, môže byť vykonaná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcich príkladoch.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(pole) \vpravo) $.

V druhej časti sa budeme zaoberať ďalším spôsobom hľadania inverznej matice, ktorý zahŕňa použitie transformácií Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy.

Nájdenie inverznej matice je proces, ktorý pozostáva z pomerne jednoduchých krokov. Ale tieto akcie sa opakujú tak často, že proces je dosť zdĺhavý. Hlavnou vecou je nestratiť pozornosť pri rozhodovaní.

Pri riešení najbežnejšej metódy - algebraických sčítaní - budete potrebovať:

Pri riešení príkladov tieto akcie podrobnejšie rozoberieme. Medzitým zistíme, čo hovorí teória inverznej matice.

Pre inverzná matica existuje výstižná analógia s prevráteným číslom. Za každé číslo a, ktoré sa nerovná nule, existuje číslo bže práca a a b rovná sa jednej: ab= 1. číslo b sa nazýva prevrátená hodnota čísla b. Napríklad pre číslo 7 je inverzná hodnota číslo 1/7, pretože 7*1/7=1.

inverzná matica , ktorý je potrebné nájsť pre danú štvorcovú maticu ALE, takáto matica sa nazýva

súčin, ktorým matrice ALE vpravo je matica identity, t.j.
. (1)

Matica identity je diagonálna matica, v ktorej sa všetky diagonálne položky rovnajú jednej.

Nájdenie inverznej matice- problém, ktorý sa najčastejšie rieši dvoma spôsobmi:

• metóda algebraických doplnkov, pri ktorej, ako bolo uvedené na začiatku hodiny, je potrebné nájsť determinanty, vedľajšie a algebraické doplnky a transponovať matice;
• Gaussovu eliminačnú metódu, ktorá vyžaduje elementárne transformácie matíc (sčítanie riadkov, násobenie riadkov rovnakým číslom atď.).

Pre tých, ktorí sú obzvlášť zvedaví, existujú aj iné metódy, napríklad metóda lineárnych transformácií. V tejto lekcii budeme analyzovať tri uvedené metódy a algoritmy na nájdenie inverznej matice týmito metódami.

Veta.Pre každú nesingulárnu (nesingulárnu, nesingulárnu) štvorcovú maticu možno nájsť inverznú maticu a navyše iba jednu. Pre špeciálnu (degenerovanú, singulárnu) štvorcovú maticu inverzná matica neexistuje.

Štvorcová matica sa nazýva nešpeciálne(alebo nedegenerované, nejednotný) ak sa jeho determinant nerovná nule a špeciálne(alebo degenerovať, jednotného čísla), ak je jeho determinant nula.

Inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcovú maticu. Prirodzene, inverzná matica bude tiež štvorcová a rovnakého rádu ako daná matica. Matica, pre ktorú možno nájsť inverznú maticu, sa nazýva invertibilná matica.

Nájdenie inverznej matice Gaussovým odstránením neznámych

Prvým krokom k nájdeniu inverznej matice pomocou Gaussovej eliminácie je priradenie k matici A identifikačnú maticu rovnakého rádu, pričom ich oddeľuje zvislou čiarou. Získame dvojitú maticu. Vynásobte obe časti tejto matice číslom , potom dostaneme

,

Algoritmus na nájdenie inverznej matice Gaussovou elimináciou neznámych

1. Do matrice A priradiť maticu identity rovnakého poradia.

2. Transformujte výslednú duálnu maticu tak, aby sa matica identity získala v jej ľavej časti, potom sa v pravej časti namiesto matice identity automaticky získa inverzná matica. Matrix A na ľavej strane sa prevedie na maticu identity elementárnymi transformáciami matice.

2. Ak je v procese transformácie matice A v matici identity v ľubovoľnom riadku alebo v ľubovoľnom stĺpci budú iba nuly, potom sa determinant matice rovná nule, a teda matica A bude degenerovaný a nemá inverznú maticu. V tomto prípade sa ďalšie hľadanie inverznej matice zastaví.

Príklad 2 Pre maticu

nájdite inverznú maticu.

a transformujeme ho tak, aby sa matica identity získala na ľavej strane. Začnime s premenou.

Vynásobte prvý riadok ľavej a pravej matice (-3) a pridajte ho k druhému riadku a potom vynásobte prvý riadok (-4) a pridajte ho k tretiemu riadku, potom dostaneme

.

Aby, ak je to možné, pri následných transformáciách nevznikali zlomkové čísla, najskôr vytvoríme jednotku v druhom riadku na ľavej strane duálnej matice. Ak to chcete urobiť, vynásobte druhý riadok 2 a odpočítajte od neho tretí riadok, potom dostaneme

.

Pridajme prvý riadok k druhému a potom vynásobme druhý riadok (-9) a pripočítajme ho k tretiemu riadku. Potom dostaneme

.

Potom vydeľte tretí riadok číslom 8

.

Vynásobte tretí riadok 2 a pridajte ho k druhému riadku. Ukázalo sa:

.

Keď si vymeníme miesta na druhom a treťom riadku, nakoniec dostaneme:

.

Vidíme, že matica identity sa získava na ľavej strane, preto sa inverzná matica získava na pravej strane. Touto cestou:

.

Správnosť výpočtov môžete skontrolovať vynásobením pôvodnej matice nájdenou inverznou maticou:

Výsledkom by mala byť inverzná matica.

Riešenie môžete skontrolovať pomocou online kalkulačka na nájdenie inverznej matice .

Príklad 3 Pre maticu

nájdite inverznú maticu.

Riešenie. Zostavenie duálnej matice

a pretvoríme ho.

Prvý riadok vynásobíme 3 a druhý 2 a odpočítame od druhého a potom vynásobíme prvý riadok 5 a tretí 2 a odpočítame od tretieho radu, potom dostaneme

Táto téma je medzi študentmi jedna z najnenávidenejších. Horšie asi len determinanty.

Trik je v tom, že samotný koncept inverzného prvku (a nehovorím teraz len o maticiach) nás odkazuje na operáciu násobenia. Aj v školských osnovách sa násobenie považuje za zložitú operáciu a násobenie matíc je vo všeobecnosti samostatnou témou, ktorej je venovaný celý odsek a video lekcia.

Dnes nebudeme zachádzať do detailov maticových výpočtov. Len si pamätajte: ako sa matice označujú, ako sa násobia a čo z toho vyplýva.

Recenzia: Násobenie matice

V prvom rade sa dohodneme na notácii. Matica $A$ veľkosti $\left[ m\times n \right]$ je jednoducho tabuľka čísel s presne $m$ riadkami a $n$ stĺpcami:

\=\underbrace(\left[ \begin(matica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\koniec (matica) \vpravo])_(n)\]

Aby ste si miestami náhodou nepoplietli riadky a stĺpce (verte mi, na skúške si môžete jeden pomýliť s dvojkou - čo by sme tam mohli povedať o niektorých riadkoch), stačí sa pozrieť na obrázok:

Stanovenie indexov pre bunky matrice

Čo sa deje? Ak do ľavého horného rohu umiestnime štandardný súradnicový systém $OXY$ a osi nasmerujeme tak, aby pokrývali celú maticu, tak každá bunka tejto matice môže byť jednoznačne spojená so súradnicami $\left(x;y \right) $ - toto bude číslo riadku a číslo stĺpca.

Prečo je súradnicový systém umiestnený presne v ľavom hornom rohu? Áno, pretože odtiaľ začíname čítať akékoľvek texty. Je veľmi ľahké si to zapamätať.

Prečo os $x$ smeruje nadol a nie doprava? Opäť je to jednoduché: zoberte štandardný súradnicový systém (os $x$ ide doprava, os $y$ ide hore) a otočte ho tak, aby obklopoval maticu. Ide o otočenie o 90 stupňov v smere hodinových ručičiek – jeho výsledok vidíme na obrázku.

Vo všeobecnosti sme prišli na to, ako určiť indexy prvkov matice. Teraz sa poďme zaoberať násobením.

Definícia. Matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, keď sa počet stĺpcov v prvom zhoduje s počtom riadkov v druhom, sú nazývaný konzistentný.

Je to v tomto poradí. Niekto môže byť nejednoznačný a povedať, že matice $A$ a $B$ tvoria usporiadaný pár $\left(A;B \right)$: ak sú konzistentné v tomto poradí, potom nie je vôbec potrebné, aby $B $ a $A$, tie. pár $\left(B;A \right)$ je tiež konzistentný.

Násobiť možno iba konzistentné matice.

Definícia. Súčin konzistentných matíc $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$ je nová matica $C=\left[ m\krát k \right] ]$ , ktorého prvky $((c)_(ij))$ sa vypočítajú podľa vzorca:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Inými slovami: ak chcete získať prvok $((c)_(ij))$ matice $C=A\cdot B$, musíte vziať $i$-riadok prvej matice, $j$ -tý stĺpec druhej matice a potom vynásobte v pároch prvky z tohto riadka a stĺpca. Sčítajte výsledky.

Áno, to je krutá definícia. Vyplýva z toho hneď niekoľko faktov:

1. Maticové násobenie je, všeobecne povedané, nekomutatívne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Násobenie je však asociatívne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. A dokonca distributívne: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. A opäť distributívne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivita násobenia musela byť opísaná oddelene pre ľavý a pravý súčet násobiteľa práve z dôvodu nekomutatívnosti operácie násobenia.

Ak sa napriek tomu ukáže, že $A\cdot B=B\cdot A$, takéto matice sa nazývajú permutabilné.

Medzi všetkými maticami, ktoré sú tam niečím vynásobené, sú špeciálne - tie, ktoré po vynásobení akoukoľvek maticou $A$ opäť dávajú $A$:

Definícia. Matica $E$ sa nazýva identita, ak $A\cdot E=A$ alebo $E\cdot A=A$. V prípade štvorcovej matice $A$ môžeme písať:

Matica identity je častým hosťom pri riešení maticových rovníc. A vôbec, častý hosť vo svete matrík. :)

A kvôli tomuto $E$ niekto vymyslel celú hru, ktorá bude napísaná ďalej.

Čo je inverzná matica

Keďže násobenie matice je veľmi časovo náročná operácia (musíte vynásobiť veľa riadkov a stĺpcov), koncept inverznej matice tiež nie je najtriviálnejší. A chce to nejaké vysvetlenie.

Kľúčová definícia

No je načase poznať pravdu.

Definícia. Matica $B$ sa nazýva inverzná k matici $A$ if

Inverzná matica je označená $((A)^(-1))$ (nezamieňať so stupňom!), takže definíciu možno prepísať takto:

Zdalo by sa, že všetko je veľmi jednoduché a jasné. Pri analýze takejto definície sa však okamžite vynára niekoľko otázok:

1. Existuje vždy inverzná matica? A ak nie vždy, ako určiť: kedy existuje a kedy nie?
2. A kto povedal, že takáto matica je presne jedna? Čo ak pre nejakú pôvodnú maticu $A$ existuje celý zástup inverzných hodnôt?
3. Ako vyzerajú všetky tieto „obrátky“? A ako ich vlastne rátate?

Čo sa týka výpočtových algoritmov - o tom budeme hovoriť o niečo neskôr. Na ostatné otázky však odpovieme už teraz. Usporiadajme si ich do podoby samostatných tvrdení-lém.

Základné vlastnosti

Začnime tým, ako by mala matica $A$ vyzerať, aby mala $((A)^(-1))$. Teraz sa presvedčíme, že obe tieto matice musia byť štvorcové a rovnakej veľkosti: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom sú obe tieto matice štvorcové a majú rovnaké poradie $n$.

Dôkaz. Všetko je jednoduché. Nech je matica $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​a\krát b \vpravo]$. Keďže produkt $A\cdot ((A)^(-1))=E$ podľa definície existuje, matice $A$ a $((A)^(-1))$ sú konzistentné v tomto poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( zarovnať)\]

Toto je priamy dôsledok algoritmu násobenia matice: koeficienty $n$ a $a$ sú „tranzitné“ a musia sa rovnať.

Zároveň je definované aj inverzné násobenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, teda matice $((A)^(-1))$ a $A$ sú konzistentné aj v tomto poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( zarovnať)\]

Bez straty všeobecnosti teda môžeme predpokladať, že $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo]$. Avšak podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, takže rozmery matíc sú úplne rovnaké:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo] \\ & m=n \koniec (zarovnanie)\]

Ukazuje sa teda, že všetky tri matice – $A$, $((A)^(-1))$ a $E$ – sú štvorcové vo veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Lema je dokázaná.

No to je už dobré. Vidíme, že iba štvorcové matice sú invertibilné. Teraz sa uistite, že inverzná matica je vždy rovnaká.

Lema 2. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom je táto inverzná matica jedinečná.

Dôkaz. Začnime naopak: nech má matica $A$ aspoň dve inverzie — $B$ a $C$. Potom podľa definície platia nasledujúce rovnosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(zarovnať)\]

Z Lemy 1 usudzujeme, že všetky štyri matice $A$, $B$, $C$ a $E$ sú štvorce rovnakého poriadku: $\left[ n\times n \right]$. Preto je výrobok definovaný:

Keďže násobenie matice je asociatívne (ale nie komutatívne!), môžeme písať:

\[\začiatok(zarovnanie) & B\cdot A\cdot C=\vľavo(B\cdot A \vpravo)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\šípka doprava B=C. \\ \end(zarovnať)\]

Dostali sme jedinú možnú možnosť: dve kópie inverznej matice sú rovnaké. Lema je dokázaná.

Vyššie uvedená úvaha takmer doslovne opakuje dôkaz jedinečnosti inverzného prvku pre všetky reálne čísla $b\ne 0$. Jediným významným doplnkom je zohľadnenie rozmeru matíc.

Stále však nevieme nič o tom, či je nejaká štvorcová matica invertovateľná. Tu nám prichádza na pomoc determinant - to je kľúčová charakteristika pre všetky štvorcové matice.

Lema 3. Daná matica $A$. Ak existuje matica $((A)^(-1))$ inverzná k nej, potom je determinant pôvodnej matice nenulový:

\[\left| A \vpravo|\ne 0\]

Dôkaz. Už vieme, že $A$ a $((A)^(-1))$ sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Preto je možné pre každú z nich vypočítať determinant: $\left| A \vpravo|$ a $\vľavo| ((A)^(-1)) \vpravo|$. Avšak determinant súčinu sa rovná súčinu determinantov:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \vpravo|\Šípka vpravo \vľavo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\]

Ale podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=E$ a determinant $E$ je vždy rovný 1, takže

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|=1. \\ \end(zarovnať)\]

Súčin dvoch čísel sa rovná jednej iba vtedy, ak sa každé z týchto čísel líši od nuly:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\ne 0.\]

Takže sa ukázalo, že $\left| A \vpravo|\ne 0$. Lema je dokázaná.

V skutočnosti je táto požiadavka celkom logická. Teraz budeme analyzovať algoritmus na nájdenie inverznej matice - a bude úplne jasné, prečo v zásade nemôže existovať žiadna inverzná matica s nulovým determinantom.

Najprv však sformulujme „pomocnú“ definíciu:

Definícia. Degenerovaná matica je štvorcová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorej determinant je nula.

Môžeme teda tvrdiť, že akákoľvek invertibilná matica je nedegenerovaná.

Ako nájsť inverznú maticu

Teraz zvážime univerzálny algoritmus na hľadanie inverzných matíc. Vo všeobecnosti existujú dva všeobecne akceptované algoritmy a dnes zvážime aj druhý.

Tá, ktorá sa teraz bude brať do úvahy, je veľmi efektívna pre matice veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a čiastočne veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$. Ale od veľkosti $\left[ 4\krát 4 \right]$ je lepšie ho nepoužívať. Prečo - teraz všetko pochopíte.

Algebraické sčítania

Pripraviť sa. Teraz bude bolesť. Nie, nebojte sa: krásna sestrička v sukni, pančuchách s čipkou k vám nepríde a nedá vám injekciu do zadku. Všetko je oveľa prozaickejšie: algebraické doplnky a Jej Veličenstvo „Union Matrix“ prichádzajú k vám.

Začnime tým hlavným. Nech existuje štvorcová matica veľkosti $A=\left[ n\krát n \right]$, ktorej prvky sú pomenované $((a)_(ij))$. Potom je možné pre každý takýto prvok definovať algebraický doplnok:

Definícia. Algebraický doplnok $((A)_(ij))$ k prvku $((a)_(ij))$ v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci matice $A=\left [ n \times n \right]$ je konštrukcia formulára

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kde $M_(ij)^(*)$ je determinant matice získanej z pôvodného $A$ odstránením rovnakého $i$-tého riadku a $j$-tého stĺpca.

Opäť. Algebraický doplnok k prvku matice so súradnicami $\left(i;j \right)$ sa označí ako $((A)_(ij))$ a vypočíta sa podľa schémy:

1. Najprv vymažeme $i$-riadok a $j$-tý stĺpec z pôvodnej matice. Dostaneme novú štvorcovú maticu a jej determinant označíme ako $M_(ij)^(*)$.
2. Potom tento determinant vynásobíme $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na prvý pohľad sa tento výraz môže zdať ohromujúci, ale v skutočnosti len zistíme znamienko pred $ M_(ij)^(*) $.
3. Počítame – dostaneme konkrétne číslo. Tie. algebraické sčítanie je len číslo, nie nejaká nová matica atď.

Samotná matica $M_(ij)^(*)$ sa nazýva doplnková minor k prvku $((a)_(ij))$. A v tomto zmysle je vyššie uvedená definícia algebraického doplnku špeciálnym prípadom zložitejšej definície - tej, ktorú sme uvažovali v lekcii o determinante.

Dôležitá poznámka. V skutočnosti v matematike pre dospelých sú algebraické sčítania definované takto:

1. Vezmeme $k$ riadkov a $k$ stĺpcov v štvorcovej matici. Na ich priesečníku dostaneme maticu veľkosti $\left[ k\times k \right]$ — jej determinant sa nazýva menší rád $k$ a označuje sa $((M)_(k))$.
2. Potom tieto "vybrané" $k$ riadky a $k$ stĺpce prečiarkneme. Opäť dostaneme štvorcovú maticu – jej determinant sa nazýva komplementárny minor a značí sa $M_(k)^(*)$.
3. Vynásobte $M_(k)^(*)$ $((\left(-1 \right))^(t))$, kde $t$ je (teraz pozor!) súčet čísel všetkých vybratých riadkov a stĺpce . Toto bude algebraické sčítanie.

Pozrite sa na tretí krok: v skutočnosti ide o sumu 2 000 $! Ďalšia vec je, že pre $k=1$ dostaneme len 2 členy - budú to rovnaké $i+j$ - "súradnice" prvku $((a)_(ij))$, pre ktoré sme hľadá algebraický doplnok.

Dnes teda používame trochu zjednodušenú definíciu. Ako však neskôr uvidíme, bude toho viac než dosť. Oveľa dôležitejšie je nasledovné:

Definícia. Zjednocovacia matica $S$ so štvorcovou maticou $A=\left[ n\krát n \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorá sa získa z $A$ nahradením $(( a)_(ij))$ algebraickými doplnkami $((A)_(ij))$:

\\Šípka doprava S=\doľava[ \začiatok(matica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\koniec (matica) \vpravo]\]

Prvá myšlienka, ktorá vyvstane v momente uvedomenia si tejto definície, je „toľko musíte celkovo počítať!“ Relax: musíte počítať, ale nie toľko. :)

To všetko je veľmi pekné, ale prečo je to potrebné? Ale prečo.

Hlavná veta

Vráťme sa trochu späť. Pamätajte, že lemma 3 uviedla, že invertibilná matica $A$ je vždy nesingulárna (to znamená, že jej determinant je nenulový: $\left| A \right|\ne 0$).

Platí to teda aj naopak: ak matica $A$ nie je degenerovaná, potom je vždy invertibilná. A dokonca existuje aj vyhľadávacia schéma $((A)^(-1))$. Skontrolovať to:

Inverzná maticová veta. Nech je daná štvorcová matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a jej determinant je nenulový: $\left| A \vpravo|\ne 0$. Potom existuje inverzná matica $((A)^(-1))$ a vypočíta sa podľa vzorca:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))\]

A teraz - všetko to isté, ale čitateľným rukopisom. Ak chcete nájsť inverznú maticu, potrebujete:

1. Vypočítajte determinant $\left| A \vpravo|$ a uistite sa, že je nenulové.
2. Zostavte zjednocovaciu maticu $S$, t.j. spočítajte 100 500 algebraických sčítaní $((A)_(ij))$ a vložte ich na miesto $((a)_(ij))$.
3. Transponujte túto maticu $S$ a potom ju vynásobte nejakým číslom $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

A je to! Nájdená inverzná matica $((A)^(-1))$. Pozrime sa na príklady:

\[\left[ \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right]\]

Riešenie. Skontrolujeme reverzibilitu. Vypočítajme determinant:

\[\left| A \vpravo|=\vľavo| \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant je odlišný od nuly. Matica je teda invertovateľná. Vytvorme zjednocovaciu maticu:

Vypočítajme algebraické sčítania:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\vpravo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\vpravo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \vpravo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Venujte pozornosť: determinantom |2|, |5|, |1| a |3| sú determinanty matíc veľkosti $\left[ 1\krát 1 \right]$, nie modulov. Tie. ak boli v determinantoch záporné čísla, nie je potrebné odstraňovať "mínus".

Celkovo naša matica spojenia vyzerá takto:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(pole) \right])^(T))=\left[ \začiatok (pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(pole) \right]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right] \]

Riešenie. Opäť zvážime determinant:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \right|=\začiatok (matica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sa líši od nuly - matica je invertovateľná. Ale teraz to bude najplechovejšie: musíte napočítať až 9 (deväť, sakra!) algebraických sčítaní. A každý z nich bude obsahovať kvalifikátor $\left[ 2\krát 2 \right]$. Let:

\[\begin(matica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začiatok(matica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ \end(matica)\]

Stručne povedané, zjednocovacia matica bude vyzerať takto:

Preto inverzná matica bude:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok(pole)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

No to je všetko. Tu je odpoveď.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(pole) \right ]$

Ako vidíte, na konci každého príkladu sme vykonali kontrolu. V tejto súvislosti dôležitá poznámka:

Nebuďte leniví na kontrolu. Vynásobte pôvodnú maticu nájdenou inverznou hodnotou - mali by ste dostať $E$.

Je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie vykonať túto kontrolu, ako hľadať chybu v ďalších výpočtoch, keď napríklad riešite maticovú rovnicu.

Alternatívny spôsob

Ako som povedal, veta o inverznej matici funguje dobre pre veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a $\left[ 3\krát 3 \right]$ (v druhom prípade to nie je také "krásne" už).“), no pre veľké matriky začína smútok.

Ale nebojte sa: existuje alternatívny algoritmus, ktorý možno použiť na pokojné nájdenie inverznej hodnoty aj pre maticu $\left[ 10\krát 10 \right]$. Ale, ako sa to často stáva, na zváženie tohto algoritmu potrebujeme trochu teoretického základu.

Elementárne transformácie

Medzi rôznymi transformáciami matice existuje niekoľko špeciálnych - nazývajú sa elementárne. Existujú presne tri takéto transformácie:

1. Násobenie. Môžete vziať $i$-tý riadok (stĺpec) a vynásobiť ho ľubovoľným číslom $k\ne 0$;
2. Doplnenie. Pridajte do $i$-tého riadku (stĺpca) akýkoľvek iný $j$--tý riadok (stĺpec) vynásobený ľubovoľným číslom $k\ne 0$ (samozrejme, je možné aj $k=0$, ale aký to má význam z toho? „Nič sa však nezmení).
3. Permutácia. Vezmite $i$-tý a $j$-tý riadok (stĺpce) a vymeňte ich.

Prečo sa tieto transformácie nazývajú elementárne (pre veľké matice nevyzerajú až tak elementárne) a prečo sú len tri – tieto otázky sú nad rámec dnešnej hodiny. Nebudeme preto zachádzať do podrobností.

Ďalšia vec je dôležitá: všetky tieto zvrátenosti musíme vykonať na pridruženej matrici. Áno, áno, počuli ste dobre. Teraz bude ešte jedna definícia – posledná v dnešnej lekcii.

Priložená matica

Určite ste v škole riešili sústavy rovníc metódou sčítania. Nuž, odčítajte ďalší od jedného riadku, vynásobte nejaký riadok číslom - to je všetko.

Takže: teraz bude všetko rovnaké, ale už „dospelým spôsobom“. pripravený?

Definícia. Nech je daná matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a matica identity $E$ rovnakej veľkosti $n$. Potom priradená matica $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$ je nová $\left[ n\krát 2n \right]$ matica, ktorá vyzerá takto:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \right]=\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(pole) \right]\]

Skrátka vezmeme maticu $A$, vpravo k nej priradíme maticu identity $E$ požadovanej veľkosti, pre krásu ich oddelíme zvislou čiarou - tu je priložená. :)

v čom je háčik? A tu je čo:

Veta. Nech je matica $A$ invertibilná. Uvažujme adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$. Ak používate elementárne reťazcové transformácie uveďte ho do tvaru $\left[ E\left| B\vpravo. \right]$, t.j. vynásobením, odčítaním a preskupením riadkov získate z $A$ maticu $E$ vpravo, potom matica $B$ získaná vľavo je inverzná k $A$:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \vpravo]\do \doľava[ E\doľava| B\vpravo. \vpravo]\Šípka doprava B=((A)^(-1))\]

Je to také jednoduché! Stručne povedané, algoritmus na nájdenie inverznej matice vyzerá takto:

1. Napíšte pridruženú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$;
2. Vykonávajte základné konverzie reťazcov, kým sa vpravo namiesto $A$ nezobrazí $E$;
3. Samozrejme, že sa niečo objaví aj vľavo – istá matica $B$. Toto bude naopak;
4. ZISK! :)

Samozrejme, oveľa ľahšie sa to povie, ako urobí. Pozrime sa teda na pár príkladov: pre veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$ a $\left[ 4\krát 4 \right]$.

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(pole) \right]\ ]

Riešenie. Zostavíme priloženú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 a 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Keďže posledný stĺpec pôvodnej matice je vyplnený jednotkami, odpočítajte prvý riadok od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Neexistujú žiadne ďalšie jednotky, okrem prvého riadku. Ale nedotýkame sa ho, inak sa novo odstránené jednotky začnú "množiť" v treťom stĺpci.

Druhý riadok však môžeme odpočítať dvakrát od posledného - dostaneme jednotku v ľavom dolnom rohu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \šípka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Teraz môžeme odpočítať posledný riadok od prvého a dvakrát od druhého - týmto spôsobom „vynulujeme“ prvý stĺpec:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -1 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \ do \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Vynásobte druhý riadok −1 a potom ho 6-krát odpočítajte od prvého a pripočítajte 1-krát k poslednému:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \ľavý| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\koniec (matice)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -6 \\ \nahoru nadol \\ +1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Zostáva len vymeniť riadky 1 a 3:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Pripravený! Vpravo je požadovaná inverzná matica.

Odpoveď. $\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo ]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(matica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\koniec(matica) \vpravo]\]

Riešenie. Opäť skladáme priložený:

\[\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Poďme si trochu požičať, postarať sa o to, koľko musíme teraz počítať ... a začnime počítať. Na začiatok „vynulujeme“ prvý stĺpec odčítaním riadku 1 od riadkov 2 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\začiatok(matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

V riadkoch 2-4 pozorujeme príliš veľa „mínusov“. Vynásobte všetky tri riadky −1 a potom vypaľte tretí stĺpec odčítaním riadku 3 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(pole) \right]\begin(matica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \koniec (matica) \vpravo]\začiatok (matica) -2 \\ -1 \\ \šipka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \right] \\ \end(align)\]

Teraz je čas „vysmažiť“ posledný stĺpec pôvodnej matice: odpočítajte riadok 4 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole ) \vpravo]\začiatok(matica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Záverečný hod: „vypálite“ druhý stĺpec odčítaním riadku 2 od riadku 1 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( pole) \vpravo]\začiatok(matica) 6 \\ \hore nadol \\ -5 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

A opäť matica identity vľavo, takže inverzná vpravo. :)

Odpoveď. $\left[ \begin(matica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\koniec(matica) \vpravo]$

Dobre, teraz je po všetkom. Skontrolujte si to sami - som na šrot. :)

Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.

Pridelenie služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické sčítania, transponovanú maticu A T , zjednotenú maticu a inverznú maticu. Riešenie sa vykonáva priamo na stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a vo formáte Excel (to znamená, že je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.

Inštrukcia. Ak chcete získať riešenie, musíte zadať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A .

Pozri tiež Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

1. Nájdenie transponovanej matice AT .
2. Definícia algebraických sčítaní. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
3. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.

Ďalšie inverzný maticový algoritmus podobne ako v predchádzajúcom, až na niektoré kroky: najprv sa vypočítajú algebraické doplnky a potom sa určí zjednocovacia matica C.

1. Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
2. Výpočet determinantu matice A . Ak sa nerovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
3. Definícia algebraických sčítaní.
4. Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
5. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
6. Vykonajte kontrolu: vynásobte originál a výsledné matice. Výsledkom by mala byť matica identity.

Príklad č. 1. Maticu zapisujeme v tvare:

Algebraické sčítania. ∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice

Uvádzame ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.

1. Nájdite determinant danej štvorcovej matice A .
2. Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
3. Algebraické doplnky prvkov riadkov zapisujeme do stĺpcov (transpozícia).
4. Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A .

Ako vidíte, operáciu transpozície možno použiť na začiatku, nad pôvodnou maticou, aj na konci nad výslednými algebraickými sčítaniami.

Špeciálny prípad: Inverzná vzhľadom na maticu identity E je matica identity E .

ALGEBRAICKÉ DOPLNKY A MALÉ

Majme determinant tretieho rádu: .

Menší zodpovedajúce tomuto prvku aij determinant tretieho rádu sa nazýva determinant druhého rádu získaný z daného vymazaním riadku a stĺpca, na priesečníku ktorého daný prvok stojí, t.j. i-tý riadok a j-tý stĺpec. Maloletí zodpovedajúce danému prvku aij budeme označovať M ij.

Napríklad, maloletý M12 zodpovedajúce prvku 12, bude tam determinant , ktorý získame vyškrtnutím 1. riadku a 2. stĺpca z daného determinantu.

Vzorec, ktorý určuje determinant tretieho rádu, teda ukazuje, že tento determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov 1. riadku a im zodpovedajúcich vedľajších hodnôt; kým moll zodpovedajúci prvku 12, sa berie so znamienkom „–“, t.j. dá sa to napísať

.

(1)

Podobne je možné zaviesť definície maloletých pre determinanty druhého rádu a vyšších rádov.

Predstavme si ešte jeden pojem.

Algebraické sčítanie prvok aij determinant sa nazýva jeho vedľajší M ij vynásobené (–1) i+j .

Algebraické sčítanie prvkov aij označené A ij.

Z definície dostaneme, že súvislosť medzi algebraickým doplnkom prvku a jeho vedľajšou je vyjadrená rovnosťou A ij= (–1) i+j M ij .

Napríklad,

Príklad. Daný determinant. Nájsť A 13 , A 21 , A 32.

Je ľahké vidieť, že pomocou algebraických sčítaní prvkov možno vzorec (1) zapísať ako:

Podobne ako pri tomto vzorci je možné získať rozklad determinantu na prvky ľubovoľného riadku alebo stĺpca.

Napríklad rozklad determinantu na prvky 2. riadku možno získať nasledovne. Podľa vlastnosti 2 determinantu máme:

Rozšírme získaný determinant o prvky 1. riadku.

.

(2)

Odtiaľ pretože determinanty druhého rádu vo vzorci (2) sú vedľajšie prvky 21, 22, 23. Teda , t.j. získali sme rozšírenie determinantu o prvky 2. riadku.

Podobne je možné získať rozklad determinantu na prvky tretieho radu. Použitím vlastnosti 1 determinantov (pri transpozícii) je možné ukázať, že podobné expanzie sú platné aj pre expanzie v stĺpcových prvkoch.

Nasledujúca veta je teda pravdivá.

Veta (o expanzii determinantu v danom riadku alebo stĺpci). Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ktoréhokoľvek z jeho riadkov (alebo stĺpcov) a ich algebraických doplnkov.

Všetko vyššie uvedené platí pre determinanty akéhokoľvek vyššieho rádu.

Príklady.

INVERZNÁ MATICA

Koncept inverznej matice je zavedený iba pre štvorcové matice.

Ak A je teda štvorcová matica obrátene pre to je matica matica označená A-1 a splnenie podmienky. (Táto definícia je zavedená analogicky s násobením čísel)