Tõenäosuse klassikalise määramise ülesanded.
Näited lahendustest

Kolmandas tunnis vaatleme erinevaid probleeme, mis on seotud tõenäosuse klassikalise definitsiooni otsese rakendamisega. Selle artikli materjalide tõhusaks uurimiseks soovitan teil tutvuda põhimõistetega tõenäosusteooria Ja kombinatoorika alused. Klassikalise tõenäosuse määramise ülesanne tõenäosusega, mis kaldub ühele, on teie iseseisvas/kontrolltöös tervel, nii et valmistugem tõsiseks tööks. Võite küsida, mis selles nii tõsist on? ...ainult üks primitiivne valem. Hoiatan kergemeelsuse eest - temaatilised ülesanded on üsna mitmekesised ja paljud neist võivad teid kergesti segadusse ajada. Sellega seoses proovige lisaks põhitunni läbitöötamisele uurida hoiupõrsas olevaid täiendavaid ülesandeid sellel teemal valmislahendused kõrgema matemaatika jaoks. Lahendustehnikad on lahendustehnikad, aga “sõpru” on vaja ikkagi “pilgu järgi tunda”, sest ka rikas fantaasia on piiratud ja standardülesandeid on ka piisavalt. Noh, ma püüan võimalikult palju neist hea kvaliteediga välja sorteerida.

Meenutagem žanri klassikat:

Teatud testis sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne suhtega , kus:

– kõigi koguarv võrdselt võimalik, elementaarne selle testi tulemused kogu ürituste grupp;

- kogus elementaarne sündmusele soodsad tulemused.

Ja kohe kohe boksipeatus. Kas saate allakriipsutatud terminitest aru? See tähendab selget, mitte intuitiivset mõistmist. Kui ei, siis on ikkagi parem naasta esimese artikli juurde tõenäosusteooria ja alles pärast seda liikuge edasi.

Ärge jätke esimesi näiteid vahele - nendes kordan ühte põhimõtteliselt olulist punkti ja ütlen teile ka, kuidas lahendust õigesti vormindada ja kuidas seda teha:

Probleem 1

Urnis on 15 valget, 5 punast ja 10 musta palli. Loositakse juhuslikult 1 pall, leidke tõenäosus, et see on: a) valge, b) punane, c) must.

Lahendus: Tõenäosuse klassikalise definitsiooni kasutamise kõige olulisem eeldus on võime lugeda kokku tulemuste koguarv.

Urnis on kokku 15 + 5 + 10 = 30 palli ja ilmselgelt vastavad tõele järgmised faktid:

– võrdselt võimalik on ka mis tahes palli kättesaamine (võrdne võimalus tulemused), samas kui tulemused elementaarne ja vorm kogu ürituste grupp (st. testi tulemusena eemaldatakse kindlasti üks 30 kuulist).

Seega on tulemuste koguarv:

Mõelge sündmusele: – urnist tõmmatakse valge pall. See üritus on soositud elementaarne klassikalise määratluse kohaselt:
– tõenäosus, et urnist tõmmatakse valge pall.

Kummalisel kombel võib isegi nii lihtsa ülesande puhul teha tõsise ebatäpsuse, millele keskendusin juba esimeses artiklis tõenäosusteooria. Kus siin lõks on? Siinkohal on vale väita, et “kuna pooled pallid on valged, siis valge palli tõmbamise tõenäosus» . Klassikaline tõenäosuse määratlus viitab ELEMENTARY tulemused ja murdosa tuleb üles kirjutada!

Muude punktide puhul kaaluge sarnaselt järgmisi sündmusi:

– urnist tõmmatakse välja punane pall;
– urnist tõmmatakse must pall.

Sündmust eelistavad 5 elementaarset tulemust ja sündmust 10 elementaarset tulemust. Seega on vastavad tõenäosused:

Paljude serveriülesannete tüüpiline kontroll viiakse läbi kasutades teoreemid täieliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa kohta. Meie puhul moodustavad sündmused tervikliku rühma, mis tähendab, et vastavate tõenäosuste summa peab tingimata võrduma ühega: .

Kontrollime, kas see on tõsi: selles ma tahtsin veenduda.

Vastus:

Põhimõtteliselt saab vastuse ka täpsemalt kirja panna, aga isiklikult olen harjunud sinna panema ainult numbreid - sel põhjusel, et kui hakkad probleeme sadade ja tuhandetega “välja tembeldama”, siis üritad vähendada lahendust nii palju kui võimalik. Muide, lühiduse kohta: praktikas on "kiire" disainivalik tavaline lahendusi:

Kokku: 15 + 5 + 10 = 30 palli urnis. Klassikalise määratluse järgi:
– tõenäosus, et urnist tõmmatakse valge pall;
– tõenäosus, et urnist tõmmatakse välja punane pall;
– tõenäosus, et urnist tõmmatakse must pall.

Vastus:

Kui aga tingimusel on mitu punkti, siis on sageli mugavam sõnastada lahendus esimesena, mis võtab veidi rohkem aega, aga samas “laob kõik riiulitele ära” ja teeb asja lihtsamaks. probleemis navigeerimiseks.

Teeme sooja:

Probleem 2

Kauplusesse jõudis 30 külmkappi, millest viis on tootmisdefektiga. Üks külmik valitakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see on ilma defektideta?

Valige sobiv kujundusvalik ja vaadake lehe allosas olevat näidist.

Lihtsamate näidete puhul jääb tavaliste ja soodsate tulemuste hulk pinnale, kuid enamasti tuleb kartulid ise välja kaevata. Kanooniline probleemide jada unustava tellija kohta:

Probleem 3

Telefoninumbrit valides unustas abonent kaks viimast numbrit, kuid mäletab, et üks neist on null ja teine ​​paaritu. Leidke tõenäosus, et ta valib õige numbri.

Märge : null on paarisarv (jagub 2-ga ilma jäägita)

Lahendus: Kõigepealt leiame tulemuste koguarvu. Tingimusel jätab tellija meelde, et üks numbritest on null ja teine ​​number on paaritu. Siin on ratsionaalsem kombinatoorika ja kasutamisega mitte keeruline olla tulemuste otsese loetlemise meetod . See tähendab, et lahenduse tegemisel kirjutame lihtsalt kõik kombinatsioonid üles:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Ja me loeme need kokku – kokku 10 tulemust.

On ainult üks soodne tulemus: õige arv.

Klassikalise määratluse järgi:
– tõenäosus, et abonent valib õige numbri

Vastus: 0,1

Kümnendmurrud tunduvad tõenäosusteoorias üsna sobivad, kuid võite järgida ka traditsioonilist Võšmatovi stiili, mis toimib ainult tavaliste murdudega.

Täiustatud ülesanne iseseisvaks lahenduseks:

Probleem 4

Tellija on unustanud SIM-kaardi PIN-koodi, kuid mäletab, et sellel on kolm “viiest” ja üks numbritest on kas “seitse” või “kaheksa”. Kui suur on tõenäosus, et autoriseerimine õnnestub esimesel katsel?

Siin saate arendada ka ideed tõenäosusest, et tellijat karistatakse puk-koodi kujul, kuid kahjuks väljub arutluskäik selle õppetunni ulatusest

Lahendus ja vastus on allpool.

Mõnikord osutub kombinatsioonide loetlemine väga vaevarikkaks ülesandeks. Eelkõige on see nii järgmises, mitte vähem populaarses ülesannete rühmas, kus veeretatakse 2 täringut (harvemini - suuremad kogused):

Probleem 5

Leidke tõenäosus, et kahe täringu viskamisel on koguarv:

a) viis punkti;
b) mitte rohkem kui neli punkti;
c) 3 kuni 9 punkti (kaasa arvatud).

Lahendus: leidke tulemuste koguarv:

Võimalused, kuidas 1. stantsi külg võib välja kukkuda Ja erineval viisil võib 2. kuubi külg välja kukkuda; Kõrval kombinatsioonide korrutamise reegel, Kokku: võimalikud kombinatsioonid. Teisisõnu, iga 1. kuubi nägu võib olla tellitud paar igaühega 2. kuubi serv. Leppigem kokku, et kirjutame sellise paari kujul , kus on 1. täringul olev arv ja 2. täringul olev arv. Näiteks:

– esimene täring kogus 3 punkti, teine ​​täring 5 punkti, punktid kokku: 3 + 5 = 8;
– esimene täring kogus 6 punkti, teine ​​täring 1 punkti, punktid kokku: 6 + 1 = 7;
– 2 punkti veeretatud mõlemal täringul, summa: 2 + 2 = 4.

Ilmselgelt annab väikseima summa paar ja suurima kahe “kuuega”.

a) Arvestage sündmust: – kahe täringu viskamisel saadakse 5 punkti. Paneme kirja ja loendagem seda sündmust soodustavate tulemuste arv:

Kokku: 4 soodsat tulemust. Klassikalise määratluse järgi:
– soovitud tõenäosus.

b) Arvestage sündmust: – ei visata rohkem kui 4 punkti. See tähendab, et kas 2, 3 või 4 punkti. Jällegi loetleme ja loendame soodsad kombinatsioonid, vasakul panen kirja punktide koguarvu ja pärast koolonit - sobivad paarid:

Kokku: 6 soodsat kombinatsiooni. Seega:
– tõenäosus, et veeretatakse mitte rohkem kui 4 punkti.

c) Arvestage sündmust: – 3 kuni 9 punkti (kaasa arvatud). Siin võite minna sirget teed, kuid... millegipärast ei taha te seda teha. Jah, mõned paarid on juba eelmistes lõikudes loetletud, kuid tööd on veel palju.

Kuidas on parim viis edasi minna? Sellistel juhtudel osutub ratsionaalseks ringtee. Mõelgem vastupidine sündmus: – visatakse 2 või 10 või 11 või 12 punkti.

Mis mõte sellel on? Vastupidist sündmust soosib oluliselt väiksem arv paare:

Kokku: 7 soodsat tulemust.

Klassikalise määratluse järgi:
– tõenäosus, et viskad alla kolme või rohkem kui 9 punkti.

Lisaks tulemuste otsesele loetlemisele ja loendamisele on erinevaid kombinatoorsed valemid. Ja jälle eepiline probleem liftiga:

Probleem 7

Esimesel korrusel asuva 20-korruselise maja lifti sisenes 3 inimest. Ja lähme. Leidke tõenäosus, et:

a) nad väljuvad erinevatel korrustel
b) kaks väljuvad samal korrusel;
c) kõik väljuvad samal korrusel.

Meie põnev õppetund on lõppenud ja lõpuks soovitan veel kord tungivalt kui mitte lahendada, siis vähemalt välja mõelda täiendavad probleemid tõenäosuse klassikalise määramise kohta. Nagu ma juba märkisin, on ka "käte polsterdus" oluline!

Kursusel edasi - Tõenäosuse geomeetriline määratlus Ja Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid ja... edu peaasi!

Lahendused ja vastused:

Ülesanne 2: Lahendus: 30 – 5 = 25 külmikutel defekte pole.

– tõenäosus, et juhuslikult valitud külmikul ei ole defekti.
Vastus :

Ülesanne 4: Lahendus: leidke tulemuste koguarv:
kuidas saate valida koha, kus kahtlane number asub ja igal Neist 4 kohast saab määrata 2 numbrit (seitse või kaheksa). Kombinatsioonide korrutamise reegli kohaselt on tulemuste koguarv: .
Teise võimalusena võib lahendus lihtsalt loetleda kõik tulemused (õnneks on neid vähe):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
On ainult üks soodne tulemus (õige PIN-kood).
Seega, vastavalt klassikalisele määratlusele:
– tõenäosus, et abonent logib sisse esimesel katsel
Vastus :

Ülesanne 6: Lahendus: leidke tulemuste koguarv:
numbrid kahel täringul võivad ilmuda erineval viisil.

a) Vaatleme sündmust: – kahe täringu viskamisel võrdub punktide korrutis seitsmega. Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt ei ole antud sündmuse jaoks soodsaid tulemusi:
, st. see sündmus on võimatu.

b) Arvestage sündmust: – kahe täringu viskamisel on punktide korrutis vähemalt 20. Selle sündmuse jaoks on soodsad järgmised tulemused:

Kokku: 8
Klassikalise määratluse järgi:
– soovitud tõenäosus.

c) Kaaluge vastupidiseid sündmusi:
– punktide korrutis on paaris;
– punktide korrutis on paaritu.
Loetleme kõik sündmusele soodsad tulemused:

Kokku: 9 soodsat tulemust.
Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt:
Vastandlikud sündmused moodustavad tervikliku rühma, seega:
– soovitud tõenäosus.

Vastus :

Probleem 8: Lahendus: arvutame välja tulemuste koguarvu: 10 münti võib kukkuda erineval viisil.
Teine võimalus: kuidas esimene münt võib kukkuda Ja kuidas teine ​​münt võib kukkuda Ja … Ja kuidas 10. münt võib kukkuda. Kombinatsioonide korrutamise reegli kohaselt võib kukkuda 10 münti viise.
a) Mõelge sündmusele: – kõikidele müntidele ilmuvad pead. Seda sündmust soosib üksainus tulemus, vastavalt tõenäosuse klassikalisele määratlusele: .
b) Mõelge sündmusele: – 9 münti maandub pea ja üks münt langeb sabadesse.
On münte, mis võivad pähe maanduda. Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt: .
c) Mõelge sündmusele: – pooltel müntidel ilmuvad pead.
Olemas ainulaadsed kombinatsioonid viiest mündist, mis võivad päid maandada. Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt:
Vastus :

Kui münt visatakse, võime öelda, et see maandub pea püsti või tõenäosus see on 1/2. See muidugi ei tähenda, et kui münti visata 10 korda, siis see tingimata 5 korda pähe maandub. Kui münt on "õiglane" ja kui seda visatakse mitu korda, siis poolel korral maanduvad pead väga lähedale. Seega on kahte tüüpi tõenäosusi: eksperimentaalne Ja teoreetiline .

Eksperimentaalne ja teoreetiline tõenäosus

Kui me viskame münti palju kordi – näiteks 1000 – ja loendame, mitu korda see pähe maandub, saame määrata tõenäosuse, et see pähe maandub. Kui päid visatakse 503 korda, saame arvutada selle maandumise tõenäosuse:
503/1000 või 0,503.

See eksperimentaalne tõenäosuse määratlus. See tõenäosuse määratlus tuleneb andmete vaatlusest ja uurimisest ning on üsna levinud ja väga kasulik. Siin on näiteks mõned tõenäosused, mis määrati eksperimentaalselt:

1. Tõenäosus, et naisel tekib rinnavähk, on 1/11.

2. Kui suudled kedagi, kes on külmetanud, siis tõenäosus, et ka sina jääd nohu, on 0,07.

3. Äsja vanglast vabanenu tõenäosus vanglasse naasta on 80%.

Kui kaalume mündi viskamist ja võttes arvesse, et on sama tõenäoline, et see kerkib pea või saba, saame arvutada peade saamise tõenäosuse: 1/2. See on tõenäosuse teoreetiline definitsioon. Siin on mõned muud tõenäosused, mis on matemaatika abil teoreetiliselt määratud:

1. Kui ruumis on 30 inimest, on tõenäosus, et neist kahel on sama sünnipäev (v.a aasta) 0,706.

2. Reisil kohtad kedagi ja vestluse käigus avastad, et sul on ühine sõber. Tüüpiline reaktsioon: "See ei saa olla!" Tegelikult see fraas ei sobi, sest sellise sündmuse tõenäosus on üsna suur – veidi üle 22%.

Seega määratakse katsete tõenäosused vaatluse ja andmete kogumise teel. Teoreetilised tõenäosused määratakse matemaatilise arutluskäigu abil. Näited eksperimentaalsete ja teoreetiliste tõenäosuste kohta, nagu eespool käsitletud, ja eriti need, mida me ei oota, viivad meid tõenäosuse uurimise tähtsuseni. Võite küsida: "Mis on tõeline tõenäosus?" Tegelikult pole sellist asja olemas. Tõenäosused teatud piirides saab määrata katseliselt. Need võivad, kuid ei pruugi langeda kokku tõenäosustega, mille me teoreetiliselt saame. On olukordi, kus ühte tüüpi tõenäosust on palju lihtsam määrata kui teist. Näiteks piisaks sellest, kui leitakse teoreetilise tõenäosuse abil külmetushaiguse tõenäosus.

Eksperimentaalsete tõenäosuste arvutamine

Vaatleme esmalt tõenäosuse eksperimentaalset määratlust. Põhiprintsiip, mida me selliste tõenäosuste arvutamiseks kasutame, on järgmine.

Põhimõte P (eksperimentaalne)

Kui katses, milles tehakse n vaatlust, esineb olukord või sündmus E m korda n vaatluse jooksul, siis öeldakse sündmuse eksperimentaalseks tõenäosuseks P (E) = m/n.

Näide 1 Sotsioloogiline uuring. Vasakukäeliste, paremakäeliste ja võrdselt arenenud mõlema käega inimeste arvu määramiseks viidi läbi eksperimentaalne uuring Tulemused on toodud graafikul.

a) Määrake tõenäosus, et inimene on paremakäeline.

b) Määrake tõenäosus, et inimene on vasakukäeline.

c) Määrake tõenäosus, et inimene valdab mõlemat kätt võrdselt.

d) Enamik professionaalse keegliliidu turniire on piiratud 120 mängijaga. Kui palju mängijaid võiks selle katse andmete põhjal olla vasakukäelised?

Lahendus

a)Paremakäeliste inimeste arv on 82, vasakukäeliste arv 17 ja mõlema käega võrdselt valdavate inimeste arv 1. Vaatluste koguarv on 100. Seega on tõenäosus et inimene on paremakäeline, on P
P = 82/100 ehk 0,82 ehk 82%.

b) Tõenäosus, et inimene on vasakukäeline, on P, kus
P = 17/100 ehk 0,17 ehk 17%.

c) Tõenäosus, et inimene valdab mõlemat kätt võrdselt, on P, kus
P = 1/100 või 0,01 või 1%.

d) 120 pallurit ja punktist b võib eeldada, et 17% on vasakukäelised. Siit
17% 120-st = 0,17,120 = 20,4,
see tähendab, et võime oodata umbes 20 mängijat, kes on vasakukäelised.

Näide 2 Kvaliteedi kontroll . Tootja jaoks on väga oluline hoida oma toodete kvaliteeti kõrgel tasemel. Tegelikult palkavad ettevõtted selle protsessi tagamiseks kvaliteedikontrolli inspektoreid. Eesmärk on toota võimalikult vähe defektseid tooteid. Kuid kuna ettevõte toodab iga päev tuhandeid tooteid, ei saa ta endale lubada iga toote testimist, et teha kindlaks, kas see on defektne või mitte. Et teada saada, mitu protsenti toodetest on defektiga, testib ettevõte palju vähem tooteid.
USDA nõuab, et 80% kasvatajate müüdavatest seemnetest peab idanema. Põllumajandusettevõtte toodetavate seemnete kvaliteedi määramiseks istutatakse toodetud seemnetest 500 seemnet. Pärast seda arvutati, et tärkas 417 seemet.

a) Kui suur on tõenäosus, et seeme idaneb?

b) Kas seemned vastavad valitsuse standarditele?

Lahendus a) Teame, et 500 külvatud seemnest tärkas 417. Seemnete idanemise tõenäosus P, ja
P = 417/500 = 0,834 ehk 83,4%.

b) Kuna idanenud seemnete protsent on ületanud 80%, vastavad seemned valitsuse standarditele.

Näide 3 Televisiooni reitingud. Statistika järgi on USA-s 105 500 000 televiisoriga majapidamist. Igal nädalal kogutakse ja töödeldakse infot saadete vaatamise kohta. Ühe nädalaga kuulas 7 815 000 leibkonda CBS-i hittkomöödiasarja "Everybody Loves Raymond" ja 8 302 000 leibkonda NBC hittsarja "Law & Order" (Allikas: Nielsen Media Research). Kui suur on tõenäosus, et ühe leibkonna teler häälestatakse nädala jooksul saatele "Everybody Loves Raymondi" või "Seadus ja kord"?

Lahendus Tõenäosus, et ühes leibkonnas on teler häälestatud "Everybody Loves Raymondi" peale, on P ja
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Võimalus, et leibkonna teler häälestati seadusele ja korrale, on P ja
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Neid protsente nimetatakse reitinguteks.

Teoreetiline tõenäosus

Oletame, et teeme katset, näiteks viskame münti või viskame noolemängu, tõmbame kaardipakist kaarti või testime koosteliinil toodete kvaliteeti. Sellise katse iga võimalikku tulemust nimetatakse Exodus . Kõigi võimalike tulemuste kogumit nimetatakse tulemuse ruum . Sündmus see on tulemuste kogum, st tulemuste ruumi alamhulk.

Näide 4 Nooleviske viskamine. Oletame, et nooleviskekatses tabab nool sihtmärki. Otsige üles kõik järgmised.

b) Tulemusruum

Lahendus
a) Tulemused on: musta (B), punase (R) ja valge (B) löömine.

b) Tulemuste ruum on (lööb musta, tabab punast, tabab valget), mille saab kirjutada lihtsalt kujul (H, K, B).

Näide 5 Täringu viskamine. Matriitsil on kuubik, millel on kuus külge, millest igaühel on üks kuni kuus täppi.


Oletame, et viskame täringut. Otsi
a) Tulemused
b) Tulemusruum

Lahendus
a) Tulemused: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Tulemuste ruum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tähistame sündmuse E toimumise tõenäosust kui P(E). Näiteks "münt maandub peadele" võib tähistada H-ga. Siis P(H) tähistab tõenäosust, et münt maandub peadele. Kui kõik katse tulemused on ühesuguse tõenäosusega, siis öeldakse, et need on võrdselt tõenäolised. Võrdselt tõenäoliste sündmuste ja ebatõenäoliste sündmuste erinevuste nägemiseks kaaluge allpool näidatud sihtmärki.

Sihtmärgi A puhul on musta, punase ja valge tabamise sündmused võrdselt tõenäolised, kuna must, punane ja valge sektor on samad. Kuid sihtmärgi B puhul ei ole nende värvidega tsoonid samad, st nende tabamine pole võrdselt tõenäoline.

Põhimõte P (teoreetiline)

Kui sündmus E võib juhtuda m viisil n-st võimalikust võrdselt tõenäolisest tulemiruumist S, siis teoreetiline tõenäosus sündmused, P(E) on
P(E) = m/n.

Näide 6 Kui suur on täringu viskamise tõenäosus, et saada 3?

Lahendus Täringul on 6 võrdselt tõenäolist tulemust ja arvu 3 viskamiseks on ainult üks võimalus. Siis on tõenäosus P P(3) = 1/6.

Näide 7 Kui suur on tõenäosus, et täringule visatakse paarisarv?

Lahendus Sündmus on paarisarvu viskamine. See võib juhtuda kolmel viisil (kui viskate 2, 4 või 6). Võrdselt tõenäoliste tulemuste arv on 6. Siis on tõenäosus P(paaris) = 3/6 ehk 1/2.

Kasutame mitmeid näiteid, mis hõlmavad standardset 52 kaardipakki. See pakk koosneb alloleval joonisel näidatud kaartidest.

Näide 8 Kui suur on tõenäosus tõmmata hästi segatud kaardipakist äss?

Lahendus Tulemusi on 52 (kaartide arv pakis), need on võrdselt tõenäolised (kui pakk on hästi segatud) ja ässa tõmbamiseks on 4 võimalust, seega P põhimõtte kohaselt on tõenäosus
P (ässa tõmbamine) = 4/52 või 1/13.

Näide 9 Oletame, et valime ilma vaatamata ühe palli kotist, kus on 3 punast ja 4 rohelist palli. Kui suur on tõenäosus valida punane pall?

Lahendus Mis tahes palli tõmbamisel on 7 võrdselt tõenäolist tulemust ja kuna punase palli tõmbamise võimaluste arv on 3, saame
P (punase palli valik) = 3/7.

Järgmised väited tulenevad põhimõttest P.

Tõenäosuse omadused

a) Kui sündmust E ei saa juhtuda, siis P(E) = 0.
b) Kui sündmus E toimub kindlasti, siis P(E) = 1.
c) Sündmuse E toimumise tõenäosus on arv vahemikus 0 kuni 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Näiteks mündiviske puhul on mündi servale sattumise tõenäosus null. Tõenäosus, et münt on kas pead või saba, on tõenäosus 1.

Näide 10 Oletame, et 52-kaardilisest pakist tõmmatakse 2 kaarti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad on tipud?

Lahendus Hästi segatud 52 kaardipakist 2 kaardi tõmbamise võimaluste arv n on 52 C 2 . Kuna 52 kaardist 13 on labidad, on 2 labida tõmbamise võimaluste arv 13 C 2 . Siis
P (2 piiki tõmbamine) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Näide 11 Oletame, et 6 mehe ja 4 naise hulgast valitakse juhuslikult 3 inimest. Kui suur on tõenäosus, et valituks osutub 1 mees ja 2 naist?

Lahendus 10-liikmelisest rühmast kolme inimese valimise võimaluste arv on 10 C 3. Ühte meest saab valida 6 C 1 viisil ja 2 naist saab valida 4 C 2 viisil. Loendamise aluspõhimõtte kohaselt on 1 mehe ja 2 naise valimiseks 6 C 1. 4 C 2. Siis on tõenäosus, et välja valitakse 1 mees ja 2 naist
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Näide 12 Täringu viskamine. Kui suur on tõenäosus, et kahe täringu peale visatakse kokku 8?

Lahendus Igal täringul on 6 võimalikku tulemust. Tulemused kahekordistuvad, mis tähendab, et kahel täringul olevad numbrid võivad ilmuda 6,6 või 36 võimalikul viisil. (Parem, kui kuubikud on erinevad, ütleme, et üks on punane ja teine ​​sinine – see aitab tulemust visualiseerida.)

Numbripaarid, mis annavad kokku 8, on näidatud alloleval joonisel. 8-ga võrdse summa saamiseks on 5 võimalust, seega on tõenäosus 5/36.

Sündmused, mis juhtuvad tegelikkuses või meie kujutluses, võib jagada 3 rühma. Need on teatud sündmused, mis kindlasti juhtuvad, võimatud sündmused ja juhuslikud sündmused. Tõenäosusteooria uurib juhuslikke sündmusi, s.t. sündmused, mis võivad juhtuda või mitte. Selles artiklis tutvustatakse lühidalt tõenäosusvalemite teooriat ja näiteid tõenäosusteooria probleemide lahendamisest, mis on matemaatika ühtse riigieksami ülesandes 4 (profiilitasand).

Miks me vajame tõenäosusteooriat?

Ajalooliselt tekkis nende probleemide uurimise vajadus 17. sajandil seoses hasartmängude arengu ja professionaalsemaks muutumisega ning kasiinode tekkega. See oli tõeline nähtus, mis nõudis omaette uurimist ja uurimistööd.

Mängukaardid, täringud ja rulett tekitasid olukordi, kus võib juhtuda ükskõik milline piiratud arvust võrdselt võimalikest sündmustest. Tekkis vajadus anda numbrilised hinnangud konkreetse sündmuse toimumise võimalikkusele.

20. sajandil sai selgeks, et see pealtnäha kergemeelne teadus mängib olulist rolli mikrokosmoses toimuvate fundamentaalsete protsesside mõistmisel. Loodi kaasaegne tõenäosusteooria.

Tõenäosusteooria põhimõisted

Tõenäosusteooria uurimisobjektiks on sündmused ja nende tõenäosused. Kui sündmus on keeruline, saab selle jagada lihtsateks komponentideks, mille tõenäosusi on lihtne leida.

Sündmuste A ja B summat nimetatakse sündmuseks C, mis seisneb selles, et kas sündmus A või sündmus B või sündmused A ja B toimusid samaaegselt.

Sündmuste A ja B korrutis on sündmus C, mis tähendab, et toimusid nii sündmus A kui ka sündmus B.

Sündmusi A ja B nimetatakse kokkusobimatuteks, kui need ei saa toimuda samaaegselt.

Sündmust A nimetatakse võimatuks, kui see ei saa toimuda. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Sündmust A nimetatakse kindlaks, kui see kindlasti juhtub. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Olgu iga sündmus A seotud arvuga P(A). Seda arvu P(A) nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks, kui selle vastavusega on täidetud järgmised tingimused.

Oluliseks erijuhtumiks on olukord, kus elementaartulemused on võrdselt tõenäolised ja suvalised neist tulemustest moodustavad sündmused A. Sel juhul saab tõenäosuse sisestada valemi abil. Sel viisil sisestatud tõenäosust nimetatakse klassikaliseks tõenäosuseks. Võib tõestada, et sel juhul on omadused 1-4 täidetud.

Matemaatika ühtsel riigieksamil esinevad tõenäosusteooria probleemid on peamiselt seotud klassikalise tõenäosusega. Sellised ülesanded võivad olla väga lihtsad. Näidisversioonide tõenäosusteooria probleemid on eriti lihtsad. Soodsate tulemuste arvu on lihtne välja arvutada, kõigi tulemuste arv kirjutatakse otse tingimusesse.

Vastuse saame valemi abil.

Näide matemaatika ühtse riigieksami probleemist tõenäosuse määramise kohta

Laual on 20 pirukat - 5 kapsaga, 7 õuntega ja 8 riisiga. Marina tahab pirukat võtta. Kui suur on tõenäosus, et ta võtab riisikoogi?

Lahendus.

On 20 võrdselt tõenäolist elementaarset tulemust, see tähendab, et Marina võib võtta ükskõik millise 20 pirukast. Kuid me peame hindama tõenäosust, et Marina võtab riisipiruka, st kus A on riisipiruka valik. See tähendab, et soodsate tulemuste (riisiga pirukate valikud) arv on ainult 8. Seejärel määratakse tõenäosus valemiga:

Sõltumatud, vastandlikud ja meelevaldsed sündmused

Keerulisemaid ülesandeid hakati aga leidma avatud ülesannete pangas. Seetõttu juhime lugeja tähelepanu teistele tõenäosusteoorias uuritud probleemidele.

Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuks, kui kummagi tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine ​​sündmus aset leiab.

Sündmus B on see, et sündmust A ei toimunud, s.t. sündmus B on vastupidine sündmusele A. Vastupidise sündmuse tõenäosus on võrdne ühega miinus otsese sündmuse tõenäosus, s.o. .

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid, valemid

Suvaliste sündmuste A ja B korral on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne nende tõenäosuste summaga ilma nende ühise sündmuse tõenäosuseta, s.t. .

Sõltumatute sündmuste A ja B puhul on nende sündmuste toimumise tõenäosus võrdne nende tõenäosuste korrutisega, s.o. sel juhul .

2 viimast väidet nimetatakse tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemideks.

Tulemuste arvu arvestamine pole alati nii lihtne. Mõnel juhul on vaja kasutada kombinatoorika valemeid. Kõige tähtsam on loendada sündmuste arv, mis vastavad teatud tingimustele. Mõnikord võivad sellised arvutused muutuda iseseisvateks ülesanneteks.

Kui mitmel viisil saab 6 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine ​​õpilane koht võtab. Kolmandale õpilasele on jäänud 4 vaba kohta, neljandale 3, viiendale 2 ning kuues saab ainsa allesjäänud koha. Kõigi valikute arvu leidmiseks tuleb leida toode, mis on tähistatud sümboliga 6! ja kõlab "kuus faktoriaal".

Üldjuhul annab sellele küsimusele vastuse n elemendi permutatsioonide arvu valem.Meie puhul.

Vaatleme nüüd oma õpilastega teist juhtumit. Kui mitmel viisil saab 2 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine ​​õpilane koht võtab. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate leidma toote.

Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse valem n elemendi paigutuste arvu kohta k elemendi kohal

Meie puhul.

Ja viimane juhtum selles sarjas. Kui mitmel viisil saate valida kolm õpilast 6-st? Esimest õpilast saab valida 6 viisil, teist - 5 viisil, kolmandat - neljal viisil. Kuid nende valikute hulgas ilmuvad samad kolm õpilast 6 korda. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate arvutama väärtuse: . Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse elementide kombinatsioonide arvu valem elementide kaupa:

Meie puhul.

Näited matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamisest tõenäosuse määramiseks

Ülesanne 1. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Taldrikul on 30 pirukat: 3 lihaga, 18 kapsaga ja 9 kirssidega. Sasha valib juhuslikult ühe piruka. Leidke tõenäosus, et ta lõpetab kirsiga.

.

Vastus: 0,3.

Ülesanne 2. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Igas 1000 lambipirni partiis on keskmiselt 20 defektset. Leidke tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn hakkab tööle.

Lahendus: Töötavate lambipirnide arv on 1000-20=980. Siis tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn töötab:

Vastus: 0,98.

Tõenäosus, et õpilane U lahendab matemaatika testi jooksul õigesti rohkem kui 9 ülesannet, on 0,67. Tõenäosus, et U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet, on 0,73. Leia tõenäosus, et U lahendab täpselt 9 ülesannet õigesti.

Kui kujutame ette arvurida ja märgime sellele punktid 8 ja 9, siis näeme, et tingimus „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet”, kuid ei kehti tingimuse „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 probleemi.

Kuid tingimus „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 probleemi. Seega, kui tähistame sündmusi: „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet" - läbi A, "U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet" - läbi B, "U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” kuni C. Lahendus näeb välja järgmine:

Vastus: 0,06.

Geomeetria eksamil vastab õpilane ühele küsimusele eksamiküsimuste loendist. Tõenäosus, et see on trigonomeetria küsimus, on 0,2. Tõenäosus, et see on välisnurkade küsimus, on 0,15. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

Mõelgem, mis üritused meil on. Meile antakse kaks kokkusobimatut sündmust. See tähendab, et küsimus on seotud teemaga "Trigonomeetria" või teemaga "Välisnurgad". Tõenäosusteoreemi kohaselt on kokkusobimatute sündmuste tõenäosus võrdne iga sündmuse tõenäosuste summaga, peame leidma nende sündmuste tõenäosuste summa, see tähendab:

Vastus: 0,35.

Ruumi valgustab kolme lambiga latern. Ühe lambi põlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,29. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.

Vaatleme võimalikke sündmusi. Meil on kolm lambipirni, millest igaüks võib, kuid ei pruugi läbi põleda sõltumata teisest lambipirnist. Need on iseseisvad sündmused.

Seejärel näitame selliste sündmuste võimalusi. Kasutame järgmisi tähiseid: - pirn põleb, - pirn on läbi põlenud. Ja kohe järgmisena arvutame sündmuse tõenäosuse. Näiteks kolme sõltumatu sündmuse tõenäosus, mille puhul "pirn põleb läbi", "pirn põleb", "pirn põleb" toimus: , kus sündmuse "pirn põleb" tõenäosus. põleb” arvutatakse sündmusele „pirn ei põle” vastupidise sündmuse tõenäosusena, nimelt: .

Iga inimene puutub iga päev kokku tõenäosuse mõistega. Inimesed arvutavad bussile jõudmise võimaluse, tõenäosuse, et nad saavad täna palka, ja mõtlevad välja erinevaid kombinatsioone lotovõiduks. Tõsiselt mõjutatud on tõenäosusteooria arvutiprogrammides ja tehisintellektis, samuti on see tihedalt läbi põimunud finantsbörside jms. Tõenäosuse leidmise kohta on elementaarseid näiteid.

Klassikaline ümbris on mündiga. See visatakse üles ja selle maandumiseks on kaks erinevat võimalust: kukkumine esiküljele ja kukkumine tagaküljele. Servale kukkumise võimalus on eelnevalt välistatud, see tähendab, et on kaks tõenäolist tulemust. Kuna neid on ainult kaks ja need juhtuvad sama sagedusega, on tõenäosus saada näiteks päid 1/2. See on matemaatikas tõenäosuse leidmise põhiseadus.

Kust see 1/2 tuli? Põhimõte seisneb selles, et arvutatakse ühe (1) sündmuse tõenäosus kahest (2) võimalikust sündmusest. Nende suhe lahendatakse jagamistehtega, mis annab 1/2. Samamoodi saab arvutada tõenäosuse, et teatud arv täringul välja kukub. Nagu teate, on kuubi pinnal 6 tahku, seega võib ilmuda mis tahes arv vahemikus 1 kuni 6 - kuus erinevat valikut. Kuidas leida tõenäosust veeretada näiteks nelja?

Neli saab igal võimalikul viisil välja tulla ainult ainsal viisil (1) kuuest, seetõttu on tõenäosus võrdne 1: 6 = 1/6. Ühe kuuendiku saab kümnendkohaks teisendada kalkulaatoril jagades: 1/6 = 0,6(6) . Korrutades väärtuse 100-ga ja lisades märgi “%”, saate sündmuse tõenäosuse hinnangu protsentides. Äärmiselt oluline on teada, et sündmuse tõenäosust hinnatakse arvuna 0 kuni 1, mis protsentides jääb vahemikku 0% kuni 100%.

Kõik muud tõenäosusväärtused on absurdsed. Vaadelda tuleks konkreetset näidet: klassikalisest kaardipakist (36 kaarti) tõmmatakse juhuslik kaart. Kui suur on tõenäosus, et kaart on punane ja selle number on paaritu? Punane paaritu kaart võib olla ainult seitse või üheksa teemantidest või südametest. Selliseid kaarte on kokku 4. See tähendab, et sellise kaardi ilmumise tõenäosus on 4 / 36 = 1 / 9 = 0,1(1). Tõenäosus tuleks arvutada protsentides, see on 1,1%.

Väga sageli peaksite probleemide korral kasutama keerulist tõenäosuse valemit. Näiteks urnis on 10 palli, 3 musta ja 7 valget. Kui suur on tõenäosus, et kaks juhuslikult järjest tõmmatud palli on mustad? See probleem tuleks lahendada kahe eraldi probleemina. Esiteks peaksite arvutama musta palli tõmbamise tõenäosuse neist kõigist. Selliseid kuule on 3 ja neid on kokku 10, mis tähendab, et tõenäosus on 3/10. Järgmisena tuleb liikuda ülesande teise osa juurde, kus tõenäosusteooria võimaldab tulemusi ühtlustada.

Pärast ekstraheerimist jääb urni juba 9 palli, millest 2 on musta värvi. Sel juhul on musta palli saamise võimalus 2/9. Järgmisena tuleks saadud tõenäosused lõpptulemuse saamiseks korrutada: 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15 = 0,6(6), mis on ligikaudu võrdne 6,7%. See tähendab, et selle sündmuse tõenäosus on üsna väike.

Tõenäosuste järgi tegutsemise vajadus tekib siis, kui teatud sündmuste tõenäosused on teada ning on vaja välja arvutada teiste sündmustega seotud tõenäosused.

Tõenäosuste liitmist kasutatakse juhul, kui on vaja arvutada juhuslike sündmuste kombinatsiooni või loogilise summa tõenäosus.

Sündmuste summa A Ja B tähistama A + B või A ∪ B. Kahe sündmuse summa on sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest. See tähendab et A + B– sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui sündmus leidis aset vaatluse ajal A või sündmus B, või samaaegselt A Ja B.

Kui sündmused A Ja B on omavahel vastuolus ja on antud nende tõenäosused, siis arvutatakse tõenäosuste liitmise abil tõenäosus, et üks neist sündmustest ühe katse tulemusena aset leiab.

Tõenäosuste liitmise teoreem. Tõenäosus, et toimub üks kahest vastastikku kokkusobimatust sündmusest, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Näiteks jahil käies tehakse kaks lasku. Sündmus A– pardi löömine esimese lasuga, sündmus IN– tabamus teisest löögist, sündmus ( A+ IN) – tabamus esimesest või teisest või kahest lasust. Niisiis, kui kaks sündmust A Ja IN– kokkusobimatud sündmused siis A+ IN– vähemalt ühe neist sündmustest või kahest sündmusest.

Näide 1. Karbis on 30 ühesuurust palli: 10 punast, 5 sinist ja 15 valget. Arvutage tõenäosus, et värviline (mitte valge) pall võetakse üles vaatamata.

Lahendus. Oletame, et sündmus A- "punane pall on võetud" ja sündmus IN- "Sinine pall võeti ära." Siis on sündmus "võetakse värviline (mitte valge) pall." Leiame sündmuse tõenäosuse A:

ja sündmused IN:

Sündmused A Ja IN- vastastikku kokkusobimatu, kuna kui võtta üks pall, siis on võimatu võtta erinevat värvi palle. Seetõttu kasutame tõenäosuste liitmist:

Mitme kokkusobimatu sündmuse tõenäosuste lisamise teoreem. Kui sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti, on nende tõenäosuste summa 1:

Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on samuti võrdne 1-ga:

Vastandlikud sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti ja sündmuste täieliku kogumi tõenäosus on 1.

Vastupidiste sündmuste tõenäosused on tavaliselt märgitud väikeste tähtedega lk Ja q. Eriti,

millest tulenevad järgmised vastupidiste sündmuste tõenäosuse valemid:

Näide 2. Lasketiirus olev sihtmärk on jagatud 3 tsooni. Tõenäosus, et teatud laskur esimeses tsoonis sihtmärki laseb, on 0,15, teises tsoonis 0,23, kolmandas tsoonis 0,17. Leia tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki ja tõenäosus, et laskur jääb märklauast mööda.

Lahendus: leidke tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki:

Leiame tõenäosuse, et laskur jääb sihtmärgist mööda:

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist, leiate lehelt "Erinevad tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemid".

Vastastikku samaaegsete sündmuste tõenäosuste liitmine

Kaht juhuslikku sündmust nimetatakse ühiseks, kui ühe sündmuse toimumine ei välista teise sündmuse toimumist samas vaatluses. Näiteks täringu viskamisel sündmus A Arvatakse, et number 4 on välja lastud ja sündmus IN– paarisarvu veeretamine. Kuna 4 on paarisarv, on need kaks sündmust ühilduvad. Praktikas on probleeme ühe vastastikku samaaegse sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamisega.

Tõenäosuste liitmise teoreem ühissündmuste jaoks. Tõenäosus, et üks ühissündmustest aset leiab, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest lahutatakse mõlema sündmuse ühise toimumise tõenäosus ehk tõenäosuste korrutis. Ühiste sündmuste tõenäosuse valem on järgmisel kujul:

Alates sündmustest A Ja INühilduv, sündmus A+ IN tekib siis, kui toimub üks kolmest võimalikust sündmusest: või AB. Kokkusobimatute sündmuste liitmise teoreemi kohaselt arvutame järgmiselt:

Sündmus A juhtub, kui toimub üks kahest kokkusobimatust sündmusest: või AB. Ühe sündmuse toimumise tõenäosus mitmest kokkusobimatust sündmusest on aga võrdne kõigi nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Samamoodi:

Asendades avaldised (6) ja (7) avaldisega (5), saame ühissündmuste tõenäosuse valemi:

Valemi (8) kasutamisel tuleb arvestada, et sündmused A Ja IN võib olla:

• vastastikku sõltumatud;
• vastastikku sõltuvad.

Tõenäosuse valem vastastikku sõltumatute sündmuste jaoks:

Tõenäosuse valem vastastikku sõltuvate sündmuste jaoks:

Kui sündmused A Ja IN on vastuolulised, siis on nende kokkusattumus võimatu juhtum ja seega P(AB) = 0. Kokkusobimatute sündmuste neljas tõenäosusvalem on:

Näide 3. Autorallis on esimese autoga sõites suurem võimalus võita ja teise autoga sõites. Leia:

• tõenäosus, et mõlemad autod võidavad;
• tõenäosus, et vähemalt üks auto võidab;

1) Tõenäosus, et esimene auto võidab, ei sõltu teise auto tulemusest, seega sündmused A(esimene auto võidab) ja IN(võidab teine ​​auto) – iseseisvad üritused. Leiame tõenäosuse, et mõlemad autod võidavad:

2) Leidke tõenäosus, et üks kahest autost võidab:

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist, leiate lehelt "Erinevad tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemid".

Lahendage tõenäosuste liitmise probleem ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 4. Visatakse kaks münti. Sündmus A- vapi kadumine esimesel mündil. Sündmus B- vapi kadumine teisel mündil. Leidke sündmuse tõenäosus C = A + B .

Tõenäosuste korrutamine

Tõenäosuse korrutamist kasutatakse siis, kui tuleb arvutada sündmuste loogilise korrutise tõenäosus.

Sel juhul peavad juhuslikud sündmused olema sõltumatud. Kaht sündmust nimetatakse teineteisest sõltumatuks, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutamise teoreem. Kahe sõltumatu sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus A Ja IN on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega ja arvutatakse järgmise valemiga:

Näide 5. Münti visatakse kolm korda järjest. Leidke tõenäosus, et vapp ilmub kõik kolm korda.

Lahendus. Tõenäosus, et vapp ilmub mündi esimesel viskel, teisel ja kolmandal korral. Leiame tõenäosuse, et vapp ilmub kõik kolm korda:

Lahendage tõenäosuse korrutamise ülesanded iseseisvalt ja seejärel vaadake lahendust

Näide 6. Karbis on üheksa uut tennisepalli. Mängimiseks võetakse kolm palli ja pärast mängu pannakse need tagasi. Pallide valikul ei eristata mängitud palle mängimata pallidest. Kui suur on tõenäosus, et kolme mängu järel pole kasti ühtegi mängimata palli?

Näide 7. Väljalõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja asetatakse lauale ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus, et tähed moodustavad sõna "lõpp".

Näide 8. Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja neli kaarti. Leidke tõenäosus, et kõik need neli kaarti on erineva mastiga.

Näide 9. Sama ülesanne nagu näites 8, kuid iga kaart pärast eemaldamist tagastatakse kaardipakki.

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist ja korrutamist, kui ka arvutada mitme sündmuse korrutist, leiate lehelt "Erinevad tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemid".

Tõenäosuse, et toimub vähemalt üks teineteisest sõltumatu sündmus, saab arvutada, lahutades 1-st vastupidiste sündmuste tõenäosuste korrutise, st kasutades valemit:

Näide 10. Kaupa toimetatakse kohale kolme transpordiliigiga: jõe-, raudtee- ja maanteetransport. Tõenäosus, et veos tuuakse kohale jõetranspordiga, on 0,82, raudteel 0,87, maanteetranspordiga 0,90. Leidke tõenäosus, et veos toimetatakse kohale vähemalt ühega kolmest transpordiliigist.