Kui on antud kaks objekti a ja b, mida nimetatakse teguriteks, siis kolmas objekt, mida nimetatakse korrutiseks. U-d tähistatakse märgiga X (kelle võttis inglise matemaatik W. Oughtred 1631. aastal) või (kasutati saksa teadlase Leibnizi poolt 1698. aastal); V tähe tähistus need märgid on välja jäetud ja a asemel? b või a b kirjutatakse ab. U-l on erinev spetsiifiline tähendus ja vastavalt ka erinevad spetsiifilised definitsioonid sõltuvalt konkreetsest tegurite ja toote tüübist. Positiivsete täisarvude võrrand on definitsiooni järgi toiming, mis on seotud arvude a ja b kolmanda arvuga c, võrdne summaga b terminit, millest igaüks on võrdne , seega ab = a + a +... + a (b mõisted). Arvu a nimetatakse kordajaks, b on kordajaks. Murdarvude võrrand määratakse võrdsusega (vt Murd). Ratsionaalarvude võrrand annab arvu, mille absoluutväärtus on võrdne tegurite absoluutväärtuste korrutisega, millel on plussmärk (+), kui mõlemad tegurid on sama märgiga, ja miinusmärk (–) kui nad erinev märk. Irratsionaalarvude väärtus määratakse nende ratsionaalsete lähenduste väärtust kasutades. Kujul a = a + bi ja b = c + di antud kompleksarvude võrrand määratakse võrrandiga ab = ac – bd + (ad + bc) i. Trigonomeetrilisel kujul kirjutatud kompleksarvude puhul: a = r1 (cosj1 + isin j1), b = r2 (cosj2 + isin j2), nende moodulid korrutatakse ja nende argumendid liidetakse: ab = r1r2(cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)). 2) a (bc) = (ab) c (assotsiatiivsus, kombinatsiooniseadus); 3) a (b + c) = ab + ac (jaotus, jaotusseadus). Sel juhul a<0 = 0; a?1 = a. Need omadused on aluseks tavapärasele mitmekohaliste arvude arvutamise tehnikale. Juhtimise kontseptsiooni edasine üldistamine on seotud võimalusega käsitleda arve kui tasapinna vektorite hulga operaatoreid. Näiteks kompleksarv r (cosj + i sin j) vastab operaatorile, mis venitab kõiki vektoreid r korda ja pöörab neid nurga j võrra ümber alguspunkti. Sel juhul vastab kompleksarvude juhtimine vastavate operaatorite juhtimisele, s.t. U. tulemuseks on operaator, mis saadakse kahe antud operaatori järjestikuse rakendamisega. See lineaarsete operaatorite määratlus laieneb ka teist tüüpi operaatoritele, mida ei saa enam arvudega väljendada (näiteks lineaarsed teisendused). See toob kaasa juhtmaatriksite, kolmemõõtmelises ruumis rotatsiooni- ja dilatatsioonioperaatoriteks peetavate kvaternioonide, integraaloperaatorite tuumade jne operatsioonid. Selliste üldistuste puhul ei pruugi mõned ülaltoodud algebra omadused täituda, kõige sagedamini kommutatiivsuse omadus (mittekommutatiivne algebra). U toimimise üldomaduste uurimine on hõlmatud üldalgebra probleemidega, eelkõige rühmade ja rõngaste teooriaga.

Olemasolevatest võimalustest noorematele koolilastele korrutamistehte tähenduse selgitamiseks on eelistatuim sissejuhatus identsete terminite lisamine, eriti praktilise vasakukäelise jaoks. Ratsionaalne vasakukäeline saab aru, et parem on üks kord korrutamist kannatada, kui mitu korda liita! Pole veel olnud ainsatki last, kes poleks aru saanud tähise 3 x 2 = 6 iga teguri tähendusest. Nad asendavad teadlikult korrutise summaga ja vastupidi, võrdlevad, ilma arvutamata, tooteid ja leiavad uue toote väärtus teadaolevast, kasutades liitmist või lahutamist. Samas ei tee nad probleemides vigu, pannes kirja kolme kommi maksumuse, kasutades vormi 3 x 2 avaldist, milles iga komm on hinnatud kahe rubla peale.

Uue mõiste kasutuselevõtul antakse lastele aga alati praktilisi ülesandeid, mis viivad nad selle tähenduse mõistmiseni. Traditsiooniliselt tehakse korrutamistoimingu sisu selgitamisel ettepanek lugeda ristküliku sees olevate ruutude arv, see tähendab määrata selle pindala. Pealegi peate pindala määrama korraga kahel viisil, püüdes iseseisvalt avastada korrutamise kommutatiivset seadust.

Igaüks lahendab probleemi praktilisena, aga ausalt öeldes ei saa keegi aru, mis korrutamisel sellega pistmist on. Tõepoolest, töö ajal asuvad ruutude loendamise veerud kõigepealt vertikaalselt, seejärel horisontaalselt. Raske on ette kujutada ülesannet, millest vasakukäeline on raskemini mõistetav. Õpilased nooremad klassid Nad ei mõista "pindala" mõistet väga pikka aega, jättes pähe ristküliku pindala pähe määramise valemi ja ajades pidevalt segi perimeetri ja pindala mõisted. Peame andma teistsuguseid praktilisi ülesandeid meelelahutuslikul ja mängulisel viisil, nii et õpilased mõistavad ühtäkki “sisikonnas”, mis on ala ja mida nad tegelikult on kogu selle aja otsinud. Seetõttu välimus edasi esialgne etapp Sellised geomeetrilised tõlgendused, vastupidi, ajavad vasakukäelise inimese segadusse ega too ootuspäraselt selgust korrutamise toimingu tähenduse mõistmisse.

Lapsed naudivad väga uue tegevuse valdamist ja ainuke konks on x 1-ga vormi näited, milles nad saavad loomulikult... 1. Alguses on ka nulliga korrutamine keeruline, sest lapse loogika on nagu järgneb: kui kirjutame 6 x 0, siis 6 on juba võetud (!), mis tähendab, et saame 6! Ja praktikas peate küsima midagi null korda, kinesteesia ebaõnnestub - kui see on kirjutatud, tähendab see, et see on olemas. Need vead tekivad mõnikord hiljem, näiteks kui laps on väsinud või mures proovitöö.

Mõne vasakukäelise jaoks on suurimaks raskuseks korrutustabelite päheõppimine. Juba kolmekesi, kahekesi jne loendamise staadiumis. võib välja tuua õnnetu, kes on määratud pikale võitlusele lauaga. Ja kuigi selle väljatöötamine toimub etapiviisiliselt, on õpilastel raskusi suure hulga juhtumite meeldejätmisega. Ja kuigi nad mõistavad tegurite kohtade muutmise reeglit, ei saa nad tabeli meeldejätmise etapis nii pikka arutlusahelat üles ehitada:

7 x 4 = 4 x 7 = 28

– mõne vajaliku sekundi jooksul. Kõige ebameeldivam on see, et vastused ei jää meelde. Tabelijuhtude meeldejätmisel peate kasutama kõiki vahendeid, sealhulgas analüüsima vastuste veergu, näiteks korrutama 6-ga: number 4 ilmub koos numbriga 2 kaks korda:

6 x 4 = 24 ja 6 x 7 = 42.

Muide, vastus: 24 on üks kehvemini meelde jäänud ja “mäletamine” kõlab nii: “Aga ma unustan selle alati ära... Ikka on 4 ja 2, aga 42 on kaugemal kui 24, eks?” Järgmine kord kõlab võiduhüüd: "Mäletan: 42 või 24, jah, 24!"

Jällegi kasutatakse vastustega kaarte, kuid selge on see, et selle märtri jaoks tekitavad kõik muud õppetunnid ka igasuguseid raskusi, nii et need tuleb voodis korda ajada ja isegi siis mitte alati. Ja juba päheõpitud näited ununevad. Muidugi on sellistele lastele korraks korrutustabelite kontrollimine vastunäidustatud.

Peamine asi nendega töötamisel on panna nad edusse uskuma, ilma selleta on võitu võimatu saavutada. Ühiselt peame tegema statistikat vigade arvu vähendamise kohta, kontrollima tabelit, valima ülesannete jaoks rohkem õpitud näiteid ja inspireerima last. Juhtival mälutüübil põhineva meeldejätmismeetodi ühine otsimine viib võiduni kiiremini kui ebaõnnestumiste traagiline salvestamine.

Korrutustabelite meeldejätmise viise saab loetleda:

1. “Õpime pähe kõrva järgi: kaks korda kaks on neli...” Aga heaga on see meetod mugav kuulmismälu. Tavaliselt ajavad lapsed, kellel on raskusi korrutustabelite meeldejätmisega, segamini kõrva järgi kaashäälikuid "kohev" - "vaim" ega jäta salme kohe pähe, nii et see meeldejätmise meetod ei aita alati, kuid te ei saa sellele tugineda, kuid ei saa ka sellest keelduda.


2. Kasutame visuaalset mälu, veergude visuaalselt meelde jättes ja loenduriga kontrollides katame üht või teist vastust ning laps püüab meelde jätta. Muidugi saab ta ära kasutada regulaarsust, et iga järgnev vastus veerus erineb eelmisest esimese teguri väärtuse võrra, nii et kui ta ausalt proovib meenutada, millal ta loeb, pole häda suur, igatahes a tilk kulutab kivi ära.


3. Sõrmed on 9-ga korrutamisel väga heaks abiks: asetame mõlemad käed lauale ja korrutamisel näiteks 9 x 4 = 36 otsime neljandat sõrme. Tema ees vasakul on kolm sõrme, mis tähendab, et kümnete arv on 3, tema taga paremal on kuus sõrme, see tähendab, et ühtede arv on 6, meil on 36.


4. Mõned lapsed näevad numbreid värviliselt, nii et halvasti meeldejäävatel juhtudel saab need joonistada selle värviga, millega need neile algselt maaliti. Laps mäletab värvikombinatsiooni ja jätab vastuse järk-järgult meelde.


5. Läbime näidetega kaardid, võttes esmalt arvesse tegevust ennast ja jättes meelde vastuse, siis vastupidi, tuletades vastuse põhjal meelde näidet, mis aitab jagamisel.


6. Mõnikord peate joonistama näite rebusi, sealhulgas semantilise mälu kujul, kasutades mõnda muud mnemoonilise vahendit.


7. Seitsmekohaliste telefoninumbrite meeldejätmiseks on olemas tehnikad ja korrutamistabelis ei sisalda iga näide rohkem kui neli numbrit, nii et saate neid kasutada eriti raskete juhtumite meeldejätmiseks. Peate lihtsalt meeles pidama, et selliste võtete kasutamine võib viia lapse eemale korrutustabeli sisust arusaamisest ning mälestused hetkest, mil tal õnnestus näide nii hästi meelde jätta, viivad ta korrutustabeli teemast eemale. õppetund üle pika aja.


8. Alati jääb õige tee unustatud vastuseni jõudmiseks lugege kokku vajalik arv kolmikuid, näiteks kui see juhtum on korrutamise veerust 3-ga.


9. Võimalus navigeerida lähimasse antud number tabelis on palju kasulikum.
   Näiteks 3 x 8 = ? ja kolm korda kümme võrdub kolmkümmend, sest see on lähemal kui hästi meelde jäänud 3 x 5 = 15. Alates 10-ga korrutamisest kuni näiteni 8-ga korrutamisest on puudu kaks kolmikut 3 + 3 = 6, meil on 30 – 6 = 24, mis tähendab 3 x 8 = 24. Kurb on vaid see, et tabeli päheõppimisega hätta jäänud õpilane loeb aeglaselt, nii et kaalutletud arutlustee on tema jaoks raske. aga kui kasulik!

Tavaliselt piisab loetletud meetoditest korrutamise tabeliliste juhtumite õppimiseks.

Ajavahemikul, mil laps ei ole veel kõiki lahendamiseks vajalikke juhtumeid pähe õppinud ja nende kasutamist ei saa edasi lükata, on üsna vastuvõetav kasutada korrutustabelit võrdlusmaterjalina, et mitte tekitada õpilasele asjatut stressi. Loomulikult peavad nii lapsevanemad kui ka õpetajad tegema vahet lugupidamatutel põhjustel õppimata jäänud ja objektiivsetel põhjustel suutmatusest sellist materjali kiiresti pähe õppida. Siiski tuleb siingi meeles pidada, et võrdlusplaadi piiramatu kasutamise võimalus pärsib soovi seda meelde jätta. Seetõttu võite õpetaja nõusolekul tunnitempoga kaasas käimiseks kasutada vihjeid, tehes samal ajal iga päev kõvasti tööd tabeli meeldejätmiseks.

Nagu eelpool mainitud, õpivad korrutamise kommutatiivset omadust vasakukäelised hästi selgeks, isegi propageerivad selle kasutamist rohkem kui teised, aga... näidetest kandub see üle probleemidesse. Ja ilma üldse mõtlemata kirjutavad nad nüüd kolme kommi maksumust määrates: 3 x 2 = 6 - ja vahuga suus tõestavad, et vahet pole. Keegi ei tühista korrutamise omadust ja veelgi enam programmi nõudeid nende kahjulike omaduste tõttu, kuid nad mõistavad suurepäraselt tehtud toimingu tähenduse erinevusi, kuigi neil on väga raske konkreetselt jälgida. mida millega korrutada, seega pole nende kangekaelsus alusetu. Peate oma nõudmist kindlalt nõudma, siis peab vasakukäeline konkreetselt jälgima tegurite kirjutamise järjekorda, millega ta 90% ajast hakkama saab.

Korrutamise jaotusomadus on vasakukäelistele väga keeruline, kuna nad korrutavad ainult ühe liikmega, ignoreerides teist süstemaatiliselt, eriti pärast seda, kui nad on tutvunud arvu korrutisega. Pärast viimaste uurimist lisandub aga uus viga, kui proovitakse arvu korrutada iga korrutise teguriga ja seejärel tulemusi kas korrutada või liita. Ja kõik see leiab aset pärast arvu korduvat võrdlemist summa väärtusega ja sama arvu korrutiste summaga iga liikmega. Nad UNUSTAVAD.

Seetõttu pidin looma toimuvast elava pildi. Abiks oli see, kui kaks inimest üritasid korraga uksest sisse saada – neil oli kiire. Vaatasime tulemust ja uks “sooritas” korrutamise. Kuidas sa klassi pääsesid? Kahel viisil: ükshaaval uksest läbi minnes ehk iga liiget korrutades või kokku pressides läbi - sulgudes, see tähendab summana. Vigade arv hakkas vähenema ja lapsed kasvasid suureks.

Numbri korrutis korrutisega illustreeriti ümarate numbritega:

36 x 2 x 5 = 36 x (2 x 5) = 36 x 10 = 360.

Paraku on kõik selge seni, kuni lapsed õpetajaga koostööd teevad. Ja kuna lapsed on kujundlikule võrdlemisele lähedal, esitasime selle ülesande ahelana, teatepulga edasiandva meeskonnana. Milleks aega raisata ja teda tülitada? Korrutasime korra nii, et iga kordaja osales ja tormasime edasi, oluline oli korrutamisjada parem valida. Kõik said sellest aru ja, mis kõige tähtsam, aktsepteerisid seda. Ja korrutamisjärjestuse eduka valiku määrab lapse intelligentsus. Isegi põnevust on!

Kuid mõne lapse jaoks põhjustavad kaalutud korrutamise omadused parimal juhul ainult hämmeldust ja halvimal juhul lootusetust ennustamise ja valiku võimatuse tõttu. parim viis arvutused. Selle põhjuseks on ennekõike ebakindel teadmine arvude koostisest 10 piires ja muidugi, kui teadmised korrutamise tabelijuhtudest, siis suutmatus järgneva võrdlusega kiiresti arvutada ja meeles pidada parimat valikut. Ühest küljest tuleb selliseid õpilasi õpetada säilitama oma mõtetes piisavalt mahukat teabemassiivi, samal ajal sellega opereerides. Pealegi ei pea need matemaatikas tingimata olema numbritega seotud toimingud. Saate koostada lauseid ja jätta meelde kõik täiendused. Teisest küljest on nii toimingute arvu kui ka näidete keerukuse suurenemisega vaja pidevalt harjutada peast arvutamist. Ja lõpuks, kui on aega, tuleks kõik ülesanded, mis vajavad kõige mugavamal viisil lahendamist, läbida, läbides kõik võimalikud variandid koos põhjendatud parima valikuga.

Mitte kõigilt lastelt Põhikool Praktikas on võimalik saavutada uuritud korrutamise omaduste iseseisev rakendamine. Kui ta ei saa, laske tal otsekohe otsustada, kuid loobuda saab alles siis, kui kõik lapse abistamise vahendid on ära kasutatud ja kõik pole veel kadunud – gümnaasium on ju alles ees.

"Tegevus on korrutamine. Korrutamismärk."

See õppetund on pühendatud teemale „Korrutamine. Korrutamismärk." Tunni jooksul tutvute uue toiminguga ja õpite seda salvestama. Näiteks kaaluge teadaoleva korruste arvuga maja korterite arvu ja igal korrusel asuvate korterite arvu leidmist.

Selles õppetükis tutvume tegevusega korrutamine ja uurige, kuidas see toiming on seotud lisamisega.

Lahendame järgmise probleemi:

Ülesanne 1 (joonis 1)

Majal on 5 korrust. Igal korrusel on 4 korterit. Mitu korterit selles majas on?

Riis. 1. 1. ülesande illustratsioon

Pildil (joon. 1) on selline maja. Maja korterite arvu teadasaamiseks tuleb kokku liita esimesel (4), teisel (4), kolmandal (4), neljandal (4) ja viiendal (4) korrusel asuvad korterid.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

IN selles näites leiame identsete liikmete summa. Matemaatikas saab selle asendada teise toiminguga – korrutamisega. Asendame summa tootega, lisasime 5 korda 4 korterit - selle võib kirjutada 4 5.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 5 = 20

Vastus: Majas on 20 korterit.

1. harjutus

Harjutame liitmise asendamist korrutamisega ja korrutamist liitmisega.

Vaatleme näidet: asendage identsete liikmete summa korrutisega (korrutis on korrutamise tulemus): 5 + 5 + 5 = . Mõistet 5 korratakse 3 korda, seega saab summa 5 + 5 + 5 asendada korrutisega 5 3.

5 + 5 + 5 = 5 3

Vaatleme nüüd vastupidist näidet: korrutist 8 · 2 on vaja esitada identsete terminite summana. 8 2 on 8, mida korratakse 2 korda, see tähendab 8 + 8.

8 2 = 8 + 8

Vaatame avaldist: 7 + 4 + 10 + 6 = ja ütleme, kas seda saab asendada korrutamisega.

Selles näites leiame mitte identsete, vaid erinevate liikmete summa (esimene liige on 7, teine ​​on 4, kolmas on 10, neljas on 6). See tähendab, et sellist summat ei saa tootega asendada, kuna tingimused ei ole samad. Saame arvutada ainult antud avaldise väärtuse. Teeme seda mugaval viisil, selleks kasutame liitmise kommutatiivset omadust.

7 + 4 + 10 + 6 = 6 + 4 + 10 + 7 = 10 + 10 + 7 = 27

2. ülesanne

Kirjutage avaldis, et teada saada, mitu ringi on tahvlil (joonis 2).

Riis. 2. 2. ülesande illustratsioon

Vaatame hoolikalt: näeme, et igas reas on 6 ringi (Oluline, et ringide arv oleks sama). Avaldis, mis aitab meil välja selgitada ringide koguarvu, on 6 + 6. See on identsete terminite summa, mis tähendab, et saame selle asendada tootega:

6 + 6 = 6 2 = 12

Selles tunnis õppisime tundma korrutamise toimimist ning järgmises tunnis korrutamisavaldiste moodustamist ja nende tähenduse leidmist.

Korrutamistoimingu tähendus on see, et korrutamisel leitakse identsete liikmete summa. Korrutamise esimene arv näitab, millist liiget korratakse mitu korda. Teine arv korrutis näitab, mitu korda seda liiget korratakse. Korrutamise tulemus näitab, milline arv on saadud. Näiteks:

4 3 = 12

Bibliograafia

Alexandrova E.I. Matemaatika. 2. klass. – M.: Bustard, 2004.

Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matemaatika. 2. klass. – M.: Astrel, 2006.

Dorofejev G.V., Mirakova T.I. Matemaatika. 2. klass. – M.: Haridus, 2012.

86talsch-okt.edusite.ru (