On mitmeid imelisi piire, kuid kõige kuulsamad on esimene ja teine ​​imeline piir. Nende piirangute puhul on tähelepanuväärne see, et neid kasutatakse laialdaselt ja neid saab kasutada paljude probleemide korral teiste piirangute leidmiseks. Seda teeme selle õppetunni praktilises osas. Ülesannete lahendamiseks taandades esimese või teise märkimisväärse piirini, ei ole vaja neis sisalduvaid määramatusi avalikustada, kuna suured matemaatikud on nende piiride väärtused juba pikka aega tuletanud.

Esimene tähelepanuväärne piir nimetatakse lõpmatult väikese kaare siinuse ja sama kaare siinuse suhte piiriks, väljendatuna radiaanis:

Liigume edasi probleemide lahendamise juurde imeline piir. Märkus: kui trigonomeetriline funktsioon on piirimärgi all, on see peaaegu kindel märk, et seda avaldist saab taandada esimese tähelepanuväärse piirini.

Näide 1 Leia piir.

Lahendus. Selle asemel asendamine x null põhjustab ebakindlust:

.

Nimetaja on siinus, seetõttu saab avaldise taandada esimese tähelepanuväärse piirini. Alustame ümberkujundamist:

.

Nimetajas - kolme x siinus ja lugejas on ainult üks x, mis tähendab, et lugejasse peate saama kolm x. Milleks? Esitleda 3 x = a ja saada väljend.

Ja jõuame esimese tähelepanuväärse piiri variatsioonini:

sest pole vahet, mis täht (muutuja) selles valemis on x asemel.

Korrutame x kolmega ja jagame kohe:

.

Vastavalt märgitud esimesele tähelepanuväärsele piirile asendame murdosa:

Nüüd saame lõpuks selle piirangu lahendada:

.

Näide 2 Leia piir.

Lahendus. Otsene asendamine viib jällegi "null jagage nulliga" määramatuseni:

.

Esimese märkimisväärse piiri saamiseks on vajalik, et siinusmärgi all olev x lugejas ja lihtsalt x nimetajas oleks sama koefitsiendiga. Olgu see koefitsient võrdne 2-ga. Selleks kujutlege praegust koefitsienti x juures nagu allpool, sooritades toiminguid murdosadega, saame:

.

Näide 3 Leia piir.

Lahendus. Asendamisel saame jälle määramatuse "null jagatud nulliga":

.

Ilmselt saad juba aru, et algsest väljendist saad esimese imelise piiri korrutatuna esimese imelise piiriga. Selleks lagundame lugejas oleva x ja nimetaja siinuse ruudud samadeks teguriteks ning x-i ja siinuse samade koefitsientide saamiseks jagame lugejas oleva x 3-ga ja korrutage kohe 3-ga. Saame:

.

Näide 4 Leia piir.

Lahendus. Jällegi saame määramatuse "null jagatud nulliga":

.

Saame kahe esimese märkimisväärse piiri suhte. Jagame nii lugeja kui ka nimetaja x-ga. Seejärel, et siinuste ja x punktide koefitsiendid langeksid kokku, korrutame ülemise x 2-ga ja jagame kohe 2-ga ning korrutame alumise x 3-ga ja jagame kohe 3-ga.

Näide 5 Leia piir.

Lahendus. Ja jällegi "null jagatud nulliga" määramatus:

Trigonomeetriast mäletame, et puutuja on siinuse ja koosinuse suhe ning nulli koosinus võrdub ühega. Teeme teisendusi ja saame:

.

Näide 6 Leia piir.

Lahendus. Piirmärgi all olev trigonomeetriline funktsioon viitab taas ideele rakendada esimene tähelepanuväärne piir. Esitame seda siinuse ja koosinuse suhtena.

Nüüd asume südamerahuga kaalumise juurde imelised piirid.
tundub, et .

Muutuja x asemel võib olla erinevaid funktsioone, peaasi, et need kipuvad olema 0.

Peame arvutama piiri

Nagu näete, on see piir väga sarnane esimese tähelepanuväärsega, kuid see pole täiesti tõsi. Üldiselt, kui märkate limiidis pattu, peaksite kohe mõtlema, kas esimest tähelepanuväärset piiri on võimalik kasutada.

Vastavalt meie reeglile nr 1 asendame x nulliga:

Saame ebakindlust.

Proovime nüüd iseseisvalt korraldada esimest tähelepanuväärset piiri. Selleks teeme lihtsa kombinatsiooni:

Seega korraldame lugeja ja nimetaja nii, et 7x paistaks silma. Tuttav tähelepanuväärne piir on juba ilmnenud. Otsustamisel on soovitatav see esile tõsta:

Asendage esimese lahendusega suurepärane näide ja saame:

Lihtsusta murdosa:

Vastus: 7/3.

Nagu näete, on kõik väga lihtne.

Omab vormi , kus e = 2,718281828… on irratsionaalne arv.

Muutuja x asemel võivad esineda erinevad funktsioonid, peaasi, et need kipuvad .

Peame arvutama piiri

Siin näeme piirmärgi all kraadi olemasolu, mis tähendab, et saab rakendada teist tähelepanuväärset piiri.

Nagu alati, kasutame x asemel reeglit number 1 - asendus:

Näha on, et x korral on astme alus ja astendaja 4x >, s.t. saame vormi määramatuse:

Kasutagem teist imelist piiri oma ebakindluse paljastamiseks, kuid kõigepealt peame selle korrastama. Nagu näete, on vaja saavutada indikaatoris kohalolek, mille jaoks tõstame baasi astmeni 3x ja samal ajal astmeni 1/3x, et avaldis ei muutuks:

Ärge unustage esile tõsta meie imelist piiri:

Need on tõesti imelised piirid!
Kui teil on küsimusi selle kohta esimene ja teine ​​imeline piir küsige neilt kommentaarides.
Vastame kõigile esimesel võimalusel.

Sellel teemal saate töötada ka õpetajaga.
Meil on hea meel pakkuda teile kvalifitseeritud juhendaja valimise teenust teie linnas. Meie koostööpartnerid valivad teile koheselt välja hea õpetaja teile soodsatel tingimustel.

Pole piisavalt teavet? - Sa saad !

Oskab kirjutada matemaatilised arvutused märkmikutes. Palju meeldivam on kirjutada üksikutesse logoga märkmikesse (http://www.blocnot.ru).

Eelnevast artiklist saad teada, mis on limiit ja millega seda süüakse – see on VÄGA oluline. Miks? Sa ei pruugi aru saada, mis determinandid on ja neid edukalt lahendada, sa ei pruugi üldse aru saada, mis on tuletis ja leiad need "viieselt". Aga kui te ei saa aru, mis on piir, siis on praktilisi ülesandeid raske lahendada. Samuti ei ole üleliigne tutvuda otsuste kujunduse näidistega ja minu soovitustega disaini kohta. Kogu teave on esitatud lihtsal ja kättesaadaval viisil.

Ja selle õppetunni jaoks vajame järgmisi metoodilisi materjale: Märkimisväärsed piirid ja Trigonomeetrilised valemid. Need on leitavad lehelt. Kõige parem on juhendid printida – see on palju mugavam, pealegi tuleb neile sageli ligi pääseda võrguühenduseta.

Mis on imelistes piirides tähelepanuväärset? Nende piiride tähelepanuväärne on tõsiasi, et neid tõestasid kuulsate matemaatikute suurimad mõistused ja tänulikud järeltulijad ei pea kuhjaga kannatama kohutavate piiride käes. trigonomeetrilised funktsioonid, logaritmid, kraadid. See tähendab, et piiride leidmisel kasutame valmistulemusi, mis on teoreetiliselt tõestatud.

Märkimisväärseid piiranguid on mitu, kuid praktikas on osakoormusega üliõpilastel 95% juhtudest kaks märkimisväärset piirangut: Esimene imeline piir, Teine imeline piir. Tuleb märkida, et need on ajalooliselt väljakujunenud nimed ja kui nad räägivad näiteks “esimesest tähelepanuväärsest piirist”, siis mõeldakse selle all väga konkreetset asja, mitte mingit suvalist laest võetud piiri.

Esimene imeline piir

Võtke arvesse järgmist piirangut: (emakeelse tähe "tema" asemel kasutan ma Kreeka kiri"alfa", see on materjali esitamise mõttes mugavam).

Vastavalt meie piiride leidmise reeglile (vt artiklit Piirid. Lahendusnäited) proovime funktsiooni asendada nulliga: lugejas saame nulli (null siinus null), on nimetaja ilmselt samuti null. Seega seisame silmitsi vormi määramatusega, mida õnneks avalikustada ei pea. Matemaatilise analüüsi käigus tõestatakse, et:

The matemaatiline fakt kutsutakse Esimene imeline piir. Ma ei anna piiri analüütilist tõestust, aga siin see on geomeetriline tunne Heidame pilgu õppetükile lõpmata väikesed funktsioonid.

Sageli sisse praktilisi ülesandeid funktsioone saab paigutada erinevalt, see ei muuda midagi:

– sama esimene imeline piir.

Kuid te ei saa ise lugejat ja nimetajat ümber paigutada! Kui limiit on antud kujul , siis tuleb see lahendada samal kujul, ilma midagi ümber paigutamata.

Praktikas ei saa parameetrina toimida mitte ainult muutuja, vaid ka elementaarne funktsioon, keeruline funktsioon. On ainult oluline, et see kipuks nulli.

Näited:
, , ,

Siin , , , , ja kõik sumiseb – kehtib esimene imeline piir.

Ja siin on järgmine sissekanne – ketserlus:

Miks? Kuna polünoom ei kipu nulli, kipub see olema viis.

Muide, küsimus on tagasitäitmises, aga mis on piir ? Vastuse leiate õppetunni lõpust.

Praktikas ei ole kõik nii sujuv, peaaegu kunagi ei pakuta üliõpilasele tasuta limiiti lahendada ja kerget ainepunkti saada. Hmm... kirjutan neid ridu ja pähe tuli väga oluline mõte - tundub ju parem olevat “tasuta” matemaatilised definitsioonid ja valemid pähe jätta, sellest võib testis hindamatu abi olla, kui küsimus otsustatakse "kahe" ja "kolme" vahel ning õpetaja otsustab esitada õpilasele mõne lihtsa küsimuse või pakkuda lahendust kõige lihtsamale näitele ("äkki ta (a) teab veel mida?!").

Liigume edasi praktiliste näidete juurde:

Näide 1

Leia piir

Kui märkame limiidis siinust, peaks see meid viivitamatult panema mõtlema esimese tähelepanuväärse piiri rakendamise võimalusele.

Esiteks proovime piirimärgi all olevas avaldises asendada 0 (teeme seda mõtteliselt või mustandi järgi):

Niisiis, meil on vormi määramatus, selle kindlasti märkige otsuse tegemisel. Piirmärgi all olev avaldis näeb välja nagu esimene imeline piir, kuid see pole päris see, see on siinuse all, vaid nimetajas.

Sellistel juhtudel peame esimese imelise piiri korraldama iseseisvalt, kasutades kunstlikku seadet. Arutluskäik võib olla järgmine: "siinuse all, mis meil on, mis tähendab, et peame saama ka nimetaja sisse".
Ja seda tehakse väga lihtsalt:

See tähendab, et nimetaja korrutatakse sel juhul kunstlikult 7-ga ja jagatakse sama seitsmega. Nüüd on plaat võtnud tuttava kuju.
Kui ülesanne on käsitsi koostatud, on soovitatav märkida esimene tähelepanuväärne piir lihtsa pliiatsiga:

Mis juhtus? Tegelikult on ringiga ümbritsetud avaldis muutunud ühikuks ja tootest kadunud:

Nüüd jääb üle vaid kolmekorruselisest murdosast lahti saada:

Kes on unustanud mitmekorruseliste murdude lihtsustamise, palun värskendage teatmeteose materjali Kuumad koolimatemaatika valemid .

Valmis. Lõplik vastus:

Kui te ei soovi pliiatsimärke kasutada, saab lahenduse vormindada järgmiselt:

“

Kasutame esimest tähelepanuväärset piiri

“

Näide 2

Leia piir

Jälle näeme limiidis murdosa ja siinust. Püüame asendada lugejas ja nimetajas nulliga:

Tõepoolest, meil on ebakindlus ja seetõttu peame püüdma korraldada esimese märkimisväärse piiri. Õppetunnis Piirid. Lahendusnäited arvestasime reegliga, et kui meil on määramatus , siis peame lugeja ja nimetaja teguriteks faktoriseerima. Siin - sama asi, esitame kraadid tootena (kordajad):

Sarnaselt eelmise näitega visandame pliiatsiga suurepärased piirid (siin on neid kaks) ja näitame, et need kalduvad ühte:

Tegelikult on vastus valmis:

Järgmistes näidetes ei hakka ma Paintis kunsti tegema, mõtlen, kuidas vihikusse lahendust õigesti koostada - saate juba aru.

Näide 3

Leia piir

Piirmärgi all olevas avaldises asendame nulliga:

Saadud on ebakindlus, mis tuleb avalikustada. Kui piirväärtuses on puutuja, teisendatakse see peaaegu alati siinus- ja koosinusteks vastavalt tuntud trigonomeetrilisele valemile (muide, umbes sama teevad nad ka kotangensiga, vt allpool). metoodiline materjal Kuumad trigonomeetrilised valemid Lehel Matemaatilised valemid, tabelid ja võrdlusmaterjalid).

Sel juhul:

Nulli koosinus võrdub ühega ja sellest on lihtne lahti saada (ärge unustage märkida, et see kipub ühele):

Seega, kui limiidis on koosinus KORRISTAJA, siis jämedalt öeldes tuleb see muuta ühikuks, mis korrutises kaob.

Siin osutus kõik lihtsamaks, ilma korrutamise ja jagamiseta. Ka esimene märkimisväärne piir muutub ühtsuseks ja kaob tootest:

Selle tulemusena saadakse lõpmatus, see juhtub.

Näide 4

Leia piir

Püüame asendada lugejas ja nimetajas nulliga:

Saadud määramatus (null koosinus, nagu mäletame, on võrdne ühega)

Kasutame trigonomeetrilist valemit. Võtta teadmiseks! Millegipärast on selle valemi kasutamise piirangud väga levinud.

Võtame välja konstantsed kordajad, mis ületavad piiranguikooni:

Korraldame esimese tähelepanuväärse limiidi:

Siin on meil ainult üks imeline piir, mis muutub üheks ja kaob tootes:

Vabaneme kolmest loost:

Limiit on tegelikult lahendatud, näitame, et ülejäänud siinus kipub nulli:

Näide 5

Leia piir

See näide on keerulisem, proovige see ise välja mõelda:

Mõningaid piiranguid saab muutujat muutes vähendada 1. tähelepanuväärse piirini, selle kohta saate lugeda artiklist veidi hiljem Limit Lahendusmeetodid.

Teine imeline piir

Matemaatilise analüüsi teoorias on tõestatud, et:

See asjaolu kutsutakse teine ​​märkimisväärne piir.

Viide: on irratsionaalne arv.

Parameetrina ei saa toimida mitte ainult muutuja, vaid ka kompleksfunktsioon. Tähtis on vaid, et see püüdleks lõpmatuse poole.

Näide 6

Leia piir

Kui piirimärgi all olev väljend on võimuses - see on esimene märk sellest, et peate proovima rakendada teist imelist piiri.

Kuid kõigepealt, nagu alati, proovime lõputult asendada suur number väljendisse, mis põhimõttel seda tehakse, analüüsiti tunnis Piirid. Lahendusnäited.

Seda on lihtne näha, kui astme alus ja astendaja - , see tähendab, et vormis on ebakindlus:

See määramatus ilmneb just teise tähelepanuväärse piiri abil. Kuid nagu sageli juhtub, ei peitu teine ​​imeline piir hõbekandikul ja see peab olema kunstlikult korraldatud. Saate põhjendada järgmiselt: see näide parameeter , mis tähendab , et peame ka korraldama . Selleks tõstame aluse astmeks ja et avaldis ei muutuks, tõstame selle astmeks:

Kui ülesanne on käsitsi koostatud, märgime pliiatsiga:

Peaaegu kõik on valmis, kohutav kraad on muutunud ilusaks kirjaks:

Samal ajal liigub piiranguikoon ise indikaatorile:

Näide 7

Leia piir

Tähelepanu! Seda tüüpi limiit on väga levinud, palun uurige seda näidet väga hoolikalt.

Püüame piirimärgi all olevas avaldises asendada lõpmata suure arvu:

Tulemuseks on ebakindlus. Kuid teine ​​tähelepanuväärne piir kehtib vormi määramatuse kohta. Mida teha? Peate teisendama kraadi aluse. Me vaidleme nii: nimetajas on meil , mis tähendab, et peame korraldama ka lugejas.

See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid vajadusel funktsioonipiirangu arvutamine. Programm piirilahendused mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab limiidi arvutamise edenemist.

See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele üldhariduskoolid kontrolltöödeks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, et vanemad saaksid kontrollida paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatika või algebra? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Nii saate läbi viia enda ja/või oma nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.

Sisestage funktsiooni avaldis

Arvuta limiit

Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Funktsiooni piirväärtus x-> x 0

Olgu funktsioon f(x) defineeritud mõnel hulgal X ja punkt \(x_0 \in X \) või \(x_0 \notin X \)

Võtke X-st punktide jada, mis pole x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
koondudes x*-le. Funktsiooni väärtused selle jada punktides moodustavad samuti numbrilise jada
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ja võib püstitada küsimuse selle piiri olemasolust.

Definitsioon. Arvu A nimetatakse funktsiooni f (x) piiriks punktis x \u003d x 0 (või punktis x -> x 0), kui argumendi x mis tahes väärtusjada (1) korral mis koondub väärtusele x 0, mis erineb x 0-st, koondub vastav väärtuste jada (2) arvule A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funktsioonil f(x) võib punktis x 0 olla ainult üks piir. See tuleneb asjaolust, et järjestus
(f(x n)) on ainult üks piir.

Funktsiooni piiril on veel üks määratlus.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x = x 0, kui mis tahes arvu \(\varepsilon > 0 \) jaoks on olemas arv \(\delta > 0 \), nii et kõigi \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) rahuldades ebavõrdsust \(|x-x_0| Kasutades loogilisi sümboleid, saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Pange tähele, et võrratused \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Esimene definitsioon põhineb numbrilise jada piiri mõistel, seetõttu nimetatakse seda sageli "järjestuskeele" definitsiooniks. Teist definitsiooni nimetatakse "\(\varepsilon - \delta" \)" määratlus.
Need kaks funktsiooni piiri definitsiooni on samaväärsed ja võite kasutada mõlemat, olenevalt sellest, kumb on konkreetse probleemi lahendamiseks mugavam.

Pange tähele, et funktsiooni piiri definitsiooni "jadade keeles" nimetatakse ka funktsiooni piiri määratluseks Heine järgi ja funktsiooni piiri määratlust "keeles \(\varepsilon - \delta \)" nimetatakse Cauchy järgi ka funktsiooni piiri määratluseks.

Funktsioonipiirang x->x 0 - ja x->x 0 + juures

Järgnevalt kasutame funktsiooni ühepoolsete piiride mõisteid, mis on defineeritud järgmiselt.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f (x) parempoolseks (vasakpoolseks) piiriks punktis x 0, kui mis tahes jada (1) korral, mis koondub x 0-le, mille elemendid x n on suuremad (väiksemad) kui x 0, on vastav jada. (2) läheneb A-le.

Sümboolselt on see kirjutatud nii:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Funktsiooni "keeles \(\varepsilon - \delta \)" ühepoolsetele piiridele saab anda samaväärse definitsiooni:

Definitsioon arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks (vasakuks) piiriks punktis x 0, kui mis tahes \(\varepsilon > 0 \) korral on olemas \(\delta > 0 \) nii, et kõik x rahuldavad ebavõrdsused \(x_0 sümboolset kirjet:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Leia imelised piirid raske pole mitte ainult paljudel esimese, teise õppeaasta piiride teooriat õppivatel õpilastel, vaid ka mõnel õpetajal.

Esimese tähelepanuväärse piiri valem

Esimese tähelepanuväärse piiri tagajärjed kirjutage valemid
1. 2. 3. 4. Aga iseenesest üldvalemid märkimisväärsed piirid ei aita kedagi eksamil ega testil. Lõpptulemus on see, et reaalsed ülesanded on üles ehitatud nii, et ülalkirjeldatud valemid tuleb ikkagi jõuda. Ja enamik õpilasi, kes jätavad tundi vahele, õpivad seda kursust kirjavahetuse teel või kelle õpetajad ise ei saa alati aru, millest nad räägivad, ei suuda kõige elementaarsemaid näiteid tähelepanuväärsete piirideni arvutada. Esimese tähelepanuväärse piiri valemitest näeme, et neid saab kasutada selliste määramatuste uurimiseks nagu null jagatuna nulliga trigonomeetriliste funktsioonidega avaldiste puhul. Vaatleme kõigepealt mitmeid näiteid esimese märkimisväärse piiri kohta ja seejärel uurime teist märkimisväärset piiri.

Näide 1. Leia funktsiooni sin(7*x)/(5*x) piirmäär
Lahendus: Nagu näete, on limiidi all olev funktsioon esimese tähelepanuväärse piiri lähedal, kuid funktsiooni enda piir ei ole kindlasti võrdne ühega. Sellistel piiridele omistamisel tuleks nimetajas välja tuua sama koefitsiendiga muutuja, mis sisaldub siinuse all olevas muutujas. Sel juhul jagage ja korrutage 7-ga

Mõne jaoks tundub selline detail üleliigne, kuid enamikul õpilastel, kellel on raske piire seada, aitab see reegleid paremini mõista ja õppida teoreetiline materjal.
Samuti, kui funktsioonil on pöördvorm - see on ka esimene imeline piir. Ja kõik sellepärast, et imeline piir on võrdne ühega

Sama reegel kehtib ka 1 märkimisväärse piiri tagajärgede kohta. Seega, kui teilt küsitakse "Mis on esimene imeline piir?" Peate kõhklemata vastama, et see on üksus.

Näide 2. Leia funktsiooni sin(6x)/tan(11x) piir
Lahendus: mõistmiseks lõpptulemus kirjutage funktsioon vormile

Märkimisväärse piiri reeglite rakendamiseks korrutage ja jagage teguritega

Järgmisena kirjutame funktsioonide korrutise piiri piiride korrutise kaudu

Ilma keeruliste valemiteta leidsime mõne trigonomeetrilise funktsiooni piiri. Assimilatsiooniks lihtsad valemid proovige välja mõelda ja leida 2. ja 4 piir, imelise piiri järelmõju 1 valem. Kaalume keerukamaid ülesandeid.

Näide 3. Arvutage piir (1-cos(x))/x^2
Lahendus: Asenduse teel kontrollimisel saame määramatuse 0/0 . Paljud ei tea, kuidas sellist näidet 1 imelise piirini taandada. Siin peaksite kasutama trigonomeetrilist valemit

Sel juhul muudetakse limiit selgeks vormiks

Meil on õnnestunud funktsiooni taandada märkimisväärse piiri ruudule.

Näide 4. Leia piir
Lahendus: asendamisel saame tuttava tunnuse 0/0 . Kuid muutuja läheneb Pi , mitte nullile. Seetõttu teostame esimese märkimisväärse piirangu rakendamiseks muutujas x sellise muudatuse, nii et uus muutuja läheb nulli. Selleks tähistame nimetajaks uue muutuja Pi-x=y

Seega, kasutades trigonomeetrilist valemit, mis on toodud eelmises ülesandes, on näide taandatud 1 tähelepanuväärse piirini.

Näide 5 Arvuta piirmäär
Lahendus: esialgu pole selge, kuidas limiite lihtsustada. Aga kui on näide, siis peab ka vastus olema. Asjaolu, et muutuja läheb ühtsusse, annab asendamisel singulaarsuse kujul null korrutatuna lõpmatusega, seega tuleb puutuja asendada valemiga

Pärast seda saame soovitud määramatuse 0/0. Järgmisena muudame limiidis muutujaid ja kasutame kotangensi perioodilisust

Viimased asendused võimaldavad meil kasutada märkimisväärse piiri 1. järeldust.

Teine tähelepanuväärne piir on võrdne eksponendiga

See on klassika, mille tegelikes probleemides pole alati lihtne piire saavutada.
Arvutuste tegemiseks vajate piirid on teise märkimisväärse piiri tagajärjed:
1. 2. 3. 4.
Tänu teisele tähelepanuväärsele piirile ja selle tagajärgedele saab uurida selliseid ebamäärasusi nagu null jagatud nulliga, üks lõpmatuse astmeni ja lõpmatus lõpmatusega jagatud ja isegi samal määral.

Alustame tutvumist lihtsaid näiteid.

Näide 6 Leia funktsiooni piir
Lahendus: 2 imelise limiidi otse rakendamine ei tööta. Kõigepealt tuleb indikaator pöörata nii, et selle vorm oleks sulgudes oleva terminiga pöördvõrdeline

See on 2 tähelepanuväärse piirini redutseerimise tehnika ja tegelikult piiri tagajärje valemi 2 tuletamine.

Näide 7 Leia funktsiooni piir
Lahendus: meil on ülesanded tähelepanuväärse piirangu 2. järelsõna valemi 3 jaoks. Nullasendus annab singulaarsuse kujul 0/0. Reegli all oleva limiidi tõstmiseks keerame nimetaja nii, et muutujal oleks sama koefitsient mis logaritmis

Seda on ka lihtne mõista ja eksamil sooritada. Õpilaste raskused piirmäärade arvutamisel saavad alguse järgmistest ülesannetest.

Näide 8 Funktsioonipiirangu arvutamine[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Lahendus: meil on 1. tüüpi singulaarsus lõpmatuse astmeni. Kui te mind ei usu, võite igal pool asendada "x" asemel lõpmatusega ja vaadata ise. Reegli alusel tõstmiseks jagame lugeja sulgudes oleva nimetajaga, selleks teostame esmalt manipulatsioonid

Asendage avaldis limiidiga ja muutke see kaheks imeliseks piiriks

Piir on astme 10 astendaja. Konstandid, mis on muutujaga nii sulgudes kui ka astmes, ei anna mingit "ilma" - seda tuleks meeles pidada. Ja kui õpetajad küsivad sinult - "Miks sa indikaatorit ei keera?" (Selle näite puhul x-3 ), siis öelge, et "Kui muutuja kaldub lõpmatusse, siis lisage sellele 100 või lahutage 1000 ja piir jääb samaks!".
Seda tüüpi limiitide arvutamiseks on teine ​​viis. Sellest räägime järgmises ülesandes.

Näide 9 Leia piir
Lahendus: Nüüd võtame lugejast ja nimetajast välja muutuja ning muudame ühe tunnuse teiseks. Lõpliku väärtuse saamiseks kasutame märkimisväärse piiri 2. järelduse valemit

Näide 10 Leia funktsiooni piir
Lahendus: kõik ei leia antud limiiti. Piiri tõstmiseks 2-ni kujutage ette, et sin (3x) on muutuja ja peate astendajat pöörama

Järgmisena kirjutame näitaja kraadina kraadis


Vaheargumente kirjeldatakse sulgudes. Esimese ja teise imelise limiidi kasutamise tulemusena saime kuubikujulise astendaja.

Näide 11. Funktsioonipiirangu arvutamine sin(2*x)/log(3*x+1)
Lahendus: meil on määramatus kujul 0/0. Lisaks näeme, et funktsioon tuleks teisendada mõlema imelise piiri kasutamiseks. Teeme eelnevad matemaatilised teisendused

Lisaks võtab piir raskusteta väärtuse

Nii tunnete end testides, testides, moodulites vabalt, kui õpite funktsioone kiiresti värvima ja vähendama neid esimese või teise imelise piirini. Kui teil on ülaltoodud piiride leidmise meetodeid raske meelde jätta, võite alati tellida test meie piiridesse.
Selleks täitke vorm, täpsustage andmed ja lisage fail näidetega. Oleme aidanud paljusid õpilasi – saame aidata ka sind!