§ 11. Proportsionaalsed lõigud ringis.

1. Silla sõrestik on piiratud ringikaarega (joon. 38); sõrestiku kõrgus MK= h= 3 m; kaare raadius AMB sildeava R = 8,5 m. Arvutage sildeava pikkus AB.

2. Poolsilindrisse võlvkeldrisse tuleks asetada kaks posti, kumbki samale kaugusele lähimast seinast. Määrake riiulite kõrgus, kui keldri laius põhjas on 4 m ja riiulite vaheline kaugus on 2 m.

3. 1) Ringjoone punktist tõmmatakse risti läbimõõduga. Määrake selle pikkus järgmiste läbimõõduga segmentide pikkusega: 1) 12 cm ja 3 cm; 2) 16 cm ja 9 cm, 3) 2 m ja 5 dm.

2) Läbimõõdu punktist ringjoonega ristumiskohani tõmmatakse risti. Määrake selle risti pikkus, kui läbimõõt on 40 cm ja tõmmatud rist on 8 cm kaugusel läbimõõdu ühest otsast.

4. Läbimõõt on jagatud segmentideks: AC \u003d 8 dm ja CB \u003d 5 m ning punktist C tõmmatakse sellele risti etteantud pikkusega CD. Märkige punkti D asukoht ringi suhtes, kui CD on võrdne: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-poolring; CD - risti läbimõõduga AB. Nõutud:

1) määrake DB, kui AD = 25 ja CD = 10;

2) määrake AB, kui AD: DB= 4:9 ja CD=30;

3) defineeri AD, kui CD=3AD ja raadius on r;

4) määrake AD, kui AB=50 ja CD=15.

6. 1) Ringjoone punktist 34 cm raadiusse langetatud risti jagab selle vahekorras 8:9 (alustades keskelt). Määrake risti pikkus.

2) Kõõlu BDC on raadiusega ODA risti. Määrake BC, kui OA = 25 cm ja AD = 10 cm.

3) Kahe kontsentrilise ringiga moodustatud rõnga laius on 8 dm; suurema ringi kõõl, mis puutub väiksemaga, on 4 m. Määrake ringide raadiused.

7. Lõike võrdlemisega tõesta, et kahe ebavõrdse arvu aritmeetiline keskmine on suurem nende geomeetrilisest keskmisest.

8. Koostage lõik, mille keskmine proportsionaalne segmentide vahel on 3 cm ja 5 cm.

9. Koostage lõik, mis on võrdne: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-läbimõõt; AC-akord; CD on läbimõõduga risti. Määrake vahelduvvoolu kõõl: 1) kui AB = 2 m ja AD = 0,5 m; 2) kui AD = 4 cm ja DB = 5 cm; 3) kui AB=20m ja DB=15m.

11. AB läbimõõt; AC-akord; AD on selle projektsioon läbimõõdule AB. Nõutud:

1) määrake AD, kui AB=18 cm ja AC=12 cm;

2) määrab raadiuse, kui AC=12 m ja AD=4 m;

3) määrake DB, kui AC=24 cm ja DB = 7/9 AD.

12. AB läbimõõt; AC-akord; AD on selle projektsioon läbimõõdule AB. Nõutud:

1) määrake AC, kui AB = 35 cm ja AC = 5AD;

2) määrake vahelduvvool, kui raadius on võrdne r ja AC=DB.

13. Kaks akordi ristuvad ringi sees. Ühe akordi segmendid on 24 cm ja 14 cm; teise akordi üks lõikudest on 28 cm. Määrake selle teine ​​lõik.

14. Silla sõrestik on piiratud ringikaarega (joon. 38); silla pikkus AB = 6 m, kõrgus A = 1,2 m Määrake kaare raadius (OM = R).

15. Kaks segmenti AB ja CD lõikuvad punktis M nii, et MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 cm ja MD = 16 cm Kas punktid A, B, C ja D asuvad samal ringil?

16. Pendli pikkus MA = l= 1 m (joonis 39), selle tõstekõrgus nurga α võrra kõrvalekaldumisel CA = h\u003d 10 cm. Leidke punkti B kaugus BC-st MA (BC \u003d X).

17. Tõlkida raudtee rööpme laius b\u003d 1,524 m kohas AB (joonis 40) tehakse ümardamine; samas selgus, ; et BC= a= 42,4 m. Määrake kõverusraadius OA = R.

18. Kõõlu AMB pööratakse punkti M lähedale nii, et segment MA on suurenenud 2 1/2 korda. Kuidas on segment MB muutunud?

19. 1) Kahest lõikuvast akordist jagati üks 48 cm ja 3 cm suurusteks osadeks ning teine ​​pooleks. Määrake teise akordi pikkus.

2) Kahest lõikuvast akordist jagati üks 12 m ja 18 m osadeks ning teine ​​vahekorras 3:8. Määrake teise akordi pikkus.

20. Kahest lõikuvast akordist on esimene 32 cm ja teise akordi lõigud on
12 cm ja 16 cm Määrake esimese akordi lõigud.

21. Sekant ABC pööratakse välimise punkti A lähedale nii, et selle välimine segment AB on vähenenud kolm korda. Kuidas muutus sekandi pikkus?

22. Olgu ADB ja AEC kaks ringjoont lõikuvat sirget: esimene on punktides D ja B, teine ​​punktides E ja C. Nõutav:

1) määrake AE, kui AD = 5 cm, DB = 15 cm ja AC = 25 cm;

2) määrab BD, kui AB = 24 m, AC = 16 m ja EC = 10 m;

3) määrake AB ja AC, kui AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. Ringjoone raadius on 7 cm Keskpunktist 9 cm kaugusel asuvast punktist tõmmatakse sekant nii, et see jagatakse ringiga pooleks. Määrake selle sekandi pikkus.

24. MAB ja MCD on ühe ringi kaks sekanti. Nõutud:

1) määrake CD, kui MV = 1 m, MD = 15 dm ja CD = MA;

2) määrata MD, kui MA =18 cm, AB=12 cm ja MC:CD = 5:7;

3) määrake AB, kui AB = MC, MA = 20 ja CD = 11.

25. Kaks akordi on pikendatud vastastikuse ristumiskohani. Määrake saadud pikenduste pikkus, kui akordid on võrdsed a ja b, ja nende laiendid on seotud kui t:p.

26. Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Määrake puutuja pikkus, kui sekandi välimine ja sisemine segment on vastavalt väljendatud järgmiste arvudega: 1) 4 ja 5; 2) 2,25 ja 1,75; 3) 1 ja 2.

27. Puutuja on 20 cm ja samast punktist tõmmatud suurim sekant on 50 cm Määrake ringi raadius.

28. Sekant on 2 1/4 korda suurem kui selle välimine segment. Mitu korda suurem on see samast punktist tõmmatud puutujast?

29. Jätkatakse kahe ristuva ringi ühiskõla ja neile tõmmatakse jätkupunktist puutujad. Tõesta, et nad on võrdsed.

30. Nurga A ühele küljele asetatakse üksteise järel segmendid: AB \u003d 6 cm ja BC \u003d 8 cm; ja teisele küljele asetatakse lõik AD = 10 cm. Läbi punktide B, C ja D tõmmatakse ring. Uurige, kas sirge AD puudutab seda ringi ja kui mitte, siis kas punkt D on esimene (arvestades A-st) või teine ​​lõikepunkt.

31. Olgu olemas: sama ringi AB-tangens ja ACD-sekant. Nõutud:

1) määrake CD, kui AB = 2 cm ja AD = 4 cm;

2) määrake AD, kui AC:CD = 4:5 ja AB = 12 cm;

3) määrake AB, kui AB = CD ja AC = a.

32. 1) Kui kaugelt on näha kuumaõhupall(joon. 41), mis kerkis maapinnast 4 km kõrgusele (maa raadius on = 6370 km)?

2) Elbruse mägi (Kaukaasias) kõrgub 5600 meetrit üle merepinna.Kui kaugele te selle mäe tipust näete?

3) M - maapinnast A meetri kõrgusega vaatluspost (joonis 42); maandusraadius R, МТ= d on suurim nähtav kaugus. Tõesta seda d= √2R h+ h 2

Kommenteeri. Sest h 2 oma väiksuse tõttu võrreldes 2R-ga h peaaegu ei mõjuta tulemust, siis võite kasutada ligikaudset valemit d≈ √2R h .

33. 1) Ühest punktist väljuv puutuja ja sekant on vastavalt 20 cm ja 40 cm; sekant asub tsentrist 8 cm kaugusel.Määrake ringi raadius.

2) Määrake kaugus keskpunktist punktini, kust puutuja ja sekant lähevad, kui need on vastavalt 4 cm ja 8 cm, ja sekant eemaldatakse keskelt
12 cm

34. 1) Ühispunktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Määrake puutuja pikkus, kui see on 5 cm pikem kui sekandi välimine segment ja sama palju väiksem kui sisemine segment.

2) Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Sekant on a, ja selle sisemine segment on puutuja pikkuse võrra pikem kui välimine segment. Defineeri puutuja.

36. Ühest punktist tõmmatakse ühele ringile puutuja ja sekant. Puutuja on sekandi sisemisest ja välimisest segmendist vastavalt 2 cm ja 4 cm võrra suurem.Määrake sekandi pikkus.

36. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Määrake nende pikkus, kui puutuja on 20 cm väiksem kui sekandi sisemine segment ja 8 cm suurem kui välimine segment.

37. 1) Ringjoone ühest punktist tõmmatakse sekant ja puutuja. Nende summa on 30 cm ja sekandi sisemine segment on puutujast 2 cm väiksem. Defineeri sekant ja puutuja.

2) Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Nende summa on 15 cm ja sekandi välimine segment on puutujast 2 cm väiksem. Defineeri sekant ja puutuja.

38. Lõik AB pikeneb kauguse BC võrra. AB-l ja AC-l, nagu ka läbimõõtudel, ehitatakse ringid. Lõigu AC külge punktis B tõmmatakse risti BD, kuni see lõikub suurema ringiga. Punktist C tõmmatakse väiksemale ringile puutuja SC. Tõesta, et CD = CK.

39. Antud ringile tõmmatakse kaks paralleelset puutujat ja kolmas puutuja, mis neid lõikuvad. Raadius on keskmine võrdeline kolmanda puutuja segmentide vahel. Tõesta.

40. Kaks paralleelset joont on üksteisest 15 dm kaugusel; nende vahele antakse punkt M 3 dm kaugusel ühest neist. Läbi punkti M tõmmatakse mõlema paralleeli puutuja ring. Määrake kaugus keskpunkti ja punkti M projektsioonide vahel ühel neist paralleelidest.

41. Raadiusega ringis r Kirjutatakse võrdhaarne kolmnurk, mille kõrguse ja aluse summa on võrdne ringi läbimõõduga. Määrake kõrgus.

42. Määrake võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius: 1) kui alus on 16 cm ja kõrgus on 4 cm; 2) kui pool on 12 dm ja kõrgus on 9 dm; 3) kui külg on 15 m ja alus on 18 m.

43. Võrdhaarse kolmnurga põhi on 48 dm ja külg 30 dm. Määrake piiritletud ja sisse kirjutatud ringide raadiused ning nende keskpunktide vaheline kaugus.

44. Raadius on r, on selle kaare kõõl võrdne a. Määrake kahekordse kaare akord.

45. Ringjoone raadius on 8 dm; kõõl AB on 12 dm. Läbi punkti A tõmmatakse puutuja ja punktist B on puutujaga paralleelne kõõl BC. Määrake puutuja ja kõõlu BC vaheline kaugus.

46. ​​Punkt A eemaldatakse sirgelt MN kaugel Koos. antud raadius r Ringjoon on ümbritsetud nii, et see läbib punkti A ja puudutab sirget MN. Määrake vastuvõetud puutepunkti ja antud punkti A vaheline kaugus.

Vaatleme esmalt sekanti AC, mis on tõmmatud antud ringi välisest punktist A (joonis 288). Joonistage samast punktist puutuja AT. Punkti A ja sellele lähima ristumispunkti vahelist lõiku nimetame ringjoonega lõike välimiseks osaks (lõik AB joonisel 288), samas kui lõiku AC, mis jääb kahest ristumispunktist kõige kaugemale, on lihtsalt sekant. . Puutuja segmenti punktist A kokkupuutepunkti nimetatakse lühidalt ka puutujaks. Siis

Teoreem. Sekandi ja selle välimise osa korrutis on võrdne puutuja ruuduga.

Tõestus. Ühendame punkti. Kolmnurgad ACT ja BT A on sarnased, kuna neil on ühine nurk tipus A ning nurgad ACT ja on võrdsed, kuna mõlemat mõõdetakse poolega samast kaarest TB. Seetõttu saame siit vajaliku tulemuse:

Puutuja on võrdne samast punktist tõmmatud sekandi ja selle välimise osa vahelise geomeetrilise keskmisega.

Tagajärg. Iga läbi antud punkti A tõmmatud sekandi korral on selle pikkuse ja välimise osa korrutis konstantne:

Mõelge nüüd akordidele, mis lõikuvad sisepunktis. Õige väide:

Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega (see tähendab lõiku, milleks kõõl jagatakse lõikepunktiga).

Niisiis, joonisel fig. 289 akordid AB ja CD lõikuvad punktis M ja meil on Teisisõnu,

Antud punkti M puhul on nende lõikude korrutis, milleks see jagab mis tahes seda läbiva kõõlu, konstantne.

Selle tõestamiseks märgime, et kolmnurgad MBC ja MAD on sarnased: nurgad CMB ja DMA on vertikaalsed, nurgad MAD ja MCB põhinevad samal kaarel. Siit leiame

Q.E.D.

Kui antud punkt M asub tsentrist kaugusel l, siis tõmmates sellest läbi diameetri ja pidades seda üheks kõõluks, leiame, et läbimõõdu segmentide ja seega ka mis tahes muu kõõlu korrutis on võrdne kuni See on võrdne ka M-i läbiva minimaalse poolkõla ruuduga (mis on risti määratud läbimõõduga).

Teoreem akordi segmentide korrutise püsivuse kohta ja teoreem sekandi korrutise püsivuse kohta selle välimise osa järgi on sama väite kaks juhtu, erinevus on ainult selles, kas sekantid tõmmatakse läbi välise või ringi sisemine punkt. Nüüd saate määrata veel ühe funktsiooni, mis eristab sissekirjutatud nelinurki:

Igas sisse kirjutatud nelinurgas on lõikekorrutised, millesse diagonaalid on jagatud nende lõikepunktiga, võrdsed.

Tingimuse vajalikkus on ilmne, kuna diagonaalid on piiritletud ringi akordid. Võib näidata, et ka see tingimus on piisav.

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete huvitatud see töö palun laadige alla täisversioon.

Sihtmärk: tõsta õpimotivatsiooni; arendada arvutusoskust, leidlikkust, oskust töötada meeskonnas.

Tunni edenemine

Teadmiste värskendus. Täna räägime ringist edasi. Tuletan teile meelde ringi määratlust: mis on ring?

Ring on sirge, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis asuvad teatud kaugusel tasandi ühest punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks.

Slaidil on ringjoon, selle keskpunkt on märgitud - punkt O, joonistatakse kaks segmenti: OA ja CB. Lõik OA ühendab ringi keskpunkti ringil oleva punktiga. Seda nimetatakse RADIUS (ladina keeles raadius - "rääkis rattas"). Segment CB ühendab kaks ringi punkti ja läbib selle keskpunkti. See on ringi läbimõõt (kreeka keelest tõlgitud - "läbimõõt").

Vajame ka ringi kõõlu määratlust - see on segment, mis ühendab ringi kahte punkti (joonisel - akord DE).

Uurime küsimust sirge ja ringi vahekorrast.

Järgmine küsimus ja see on peamine: saate teada, millised omadused on ristuvatel akordidel, sekantidel ja puutujatel.

Tõestate neid omadusi matemaatikatundides ja meie ülesanne on õppida, kuidas neid omadusi probleemide lahendamisel rakendada, kuna neid kasutatakse eksamitel laialdaselt nii ühtse riigieksami kui ka GIA vormis.

Ülesanne meeskondadele.

• Joonistage ja kirjutage üles punktis P lõikuvate KM ja NF akordide omadus.
• Joonistage ja kirjutage üles puutuja KM ja sekant KF omadus.
• Joonistage ja kirjutage üles sekanti KM ja MF omadus.

Leia x, kasutades joonisel olevaid andmeid. Slaid 5-6

Kes on kiirem, seda õigem. Järgneva arutelu ja kõigi probleemide lahenduse kontrollimisega. Vastajad teenivad oma meeskonnale preemiapunkte.

Noh, liigume nüüd tõsisemate probleemide juurde. Teie tähelepanule pakutakse kolme plokki: ristuvad akordid, puutuja ja sekant, kaks sekanti. Analüüsime üksikasjalikult iga ploki ühe ülesande lahendust.

(Otsus detailkirjega nr 4, nr 7, nr 12 on analüüsimisel)

2. Probleemide lahendamise töötuba

a) Ristuvad akordid

1. E on akordide AB ja CD lõikepunkt. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Leidke CD.

Lahendus:

2. E on akordide AB ja CD lõikepunkt. AB = 17, CD = 18, ED = 2CE. Leidke AE ja BE.

Lahendus:

3. E on akordide AB ja CD lõikepunkt. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Otsige üles CE.

Lahendus:

4. E on akordide AB ja CD lõikepunkt. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Leidke CD.

Lahendus:

b) Tangent ja sekant

5. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Puutuja on 6, sekant on 18. Määrake sekandi sisemine segment.

Lahendus:

6. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Leidke puutuja, kui on teada, et see on sekandi sisemisest segmendist 4 võrra väiksem ja välimisest segmendist 4 võrra suurem.

Lahendus:

7. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Leidke sekant, kui on teada, et selle sisemine segment on seotud välimise lõiguga 3:1 ja puutuja pikkus on 12.

Lahendus:

8. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Leidke sekandi välimine segment, kui on teada, et selle sisemine segment on 12 ja puutuja pikkus on 8.

Lahendus:

9. Ühest punktist lähtuv puutuja ja sekant on vastavalt 12 ja 24. Määrake ringi raadius, kui sekant on tsentrist 12 kaugusel.

Lahendus:

c) Kaks sekanti

10. Ringjoonele tõmmatakse ühest punktist kaks lõiku, mille sisemised lõigud on vastavalt 8 ja 16. Teise sekandi välimine segment on 1 võrra väiksem kui esimese välimine segment. Leidke iga sekandi pikkus.

Lahendus:

11. Ringjoonele tõmmatakse ühest punktist kaks sekanti. Esimese sekandi välimine segment on seotud selle sisemise segmendiga 1:3. Teise sekandi välimine segment on 1 võrra väiksem kui esimese segmendi välimine segment ja on seotud selle sisemise segmendiga 1:8. Leidke iga sekanti pikkus.

Lahendus:

12. Läbi punkti A, mis asub ringist väljas selle keskpunktist 7 kaugusel, tõmmatakse sirge, mis lõikab ringi punktides B ja C. Leidke ringi raadiuse pikkus, kui AB = 3, BC = 5.

Lahendus:

13. Punktist A tõmmatakse ringile 12 cm pikkune sekant ja puutuja, sekandi sisemise segmendi komponent. Leidke puutuja pikkus.

Lahendus:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Teadmiste kinnistamine

Usun, et teil on piisavalt teadmisi, et teha lühike teekond läbi oma intellekti labürintide, külastades järgmisi jaamu:

• Kujutage ette!
• Otsustama!
• Vasta mulle!

Jaamas saate viibida kuni 6 minutit. Igaühele õige otsusülesandeid, saab meeskond ergutuspunkte.

Võistkondadele antakse teekonnalehed:

Marsruudileht

Jaam	Ülesande numbrid	Otsuse märk
Otsustama!	№1, №3
Kujutage ette!	№5, №8
Vasta mulle!	№10, №11

Tahaks tuua meie õppetunni tulemused:

Lisaks uutele teadmistele loodan, et õppisite üksteist paremini tundma, saite meeskonnatöö kogemusi. Kas arvate, et omandatud teadmised leiavad kusagil elus rakendust?

Luuletaja G. Longfellow oli samuti matemaatik. Võib-olla seetõttu võimaldavad eredad kujundid, mis kaunistavad tema romaanis “Kavang” kasutatud matemaatilisi mõisteid, jäädvustada teatud teoreeme ja nende rakendusi kogu eluks. Loeme romaanist järgmist probleemi:

„Liilia, mis tõusis veepinnast ühe laiuse võrra kõrgemale, puudutas värske tuule puhangu all järve pinda oma endisest kohast kaks küünart; Selle põhjal oli vaja määrata järve sügavus ”(1 vahemik on 10 tolli, 2 küünart on 21 tolli).

Ja see probleem lahendatakse lõikuvate akordide omaduse alusel. Vaata joonist, siis selgub, milline on järve sügavus.

Lahendus:

Matemaatika. Algebra. Geomeetria. Trigonomeetria

GEOMEETIA: Planimeetria

10. Teoreemid võrdelistel sirgetel

Teoreem. Nurga külgi lõikavad mitmed paralleelsed jooned, mis on lõigatud proportsionaalseteks osadeks.

Tõestus. Seda on vaja tõestada

.

BA-ga paralleelsete abisirgete DM,EN,... joonestamisel saame kolmnurgad, mis on üksteisega sarnased, kuna nende nurgad on vastavalt võrdsed (joonte paralleelsuse tõttu). Nende sarnasusest järeldub:

Asendades selles võrdsete suhete reas lõigu DM-ga D"E" ja lõigu EN lõiguga E"F" (rööpküliku vastasküljed), saame selle, mida tahtsime tõestada.

Teoreem. Kolmnurga mis tahes nurga poolitaja jagab vastaskülje osadeks, mis on võrdelised kolmnurga külgnevate külgedega

.

Pöördteoreem. Kui kolmnurga mis tahes külg on jagatud kaheks osaks, mis on võrdelised selle kolmnurga kahe kõrvutise küljega, siis on joon, mis ühendab jagamispunkti vastasnurga tipuga, selle nurga poolitaja

.

Teoreem. Kui kolmnurga välisnurga poolitaja lõikub mingis punktis vastaskülje pikendusega, siis on kaugused sellest punktist laiendatud külje otsteni võrdelised kolmnurga külgnevate külgedega.

.

Kolmnurga elementide vahelised arvulised sõltuvused.

Teoreem. Täisnurkses kolmnurgas on risti, mis langeb täisnurga tipust hüpotenuusi suhtes, keskmine proportsionaalne hüpotenuusi segmentide vahel ja iga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja selle jalaga külgneva lõigu vahel

.

Tõestus. On vaja tõestada järgmised kolm proportsiooni: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Kolmnurgad ABD ja ADC on sarnased, kuna

P 1 = P 4 ja P 2 = P 3 (kuna nende küljed on risti), seega BD:AD=AD:DC.

2) Kolmnurgad ABD ja ABC on sarnased, kuna need on täisnurksed ja neil on ühine nurk B, seega BC:AB=AB:DB.

3) Kolmnurgad ABC ja ADC on sarnased, kuna need on ristkülikukujulised ja neil on ühine nurk C, seega BC:AC=AC:DC.

Tagajärg. Ringi mõnest punktist läbimõõdule langenud risti on keskmine proportsionaalne läbimõõdu segmentide vahel ja seda punkti läbimõõdu otsaga ühendav kõõl on keskmine proportsionaalne läbimõõdu ja selle kõõlu külgneva segmendi vahel.

.

Pythagorase teoreem. Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi ruut on võrdne summaga jalgade ruudud

.

Tagajärg. Jalgade ruudud on üksteisega seotud hüpotenuusi külgnevate segmentidena

.

Teoreem. Mis tahes kolmnurgas vastaskülje ruut teravnurk, on võrdne kahe teise külje ruutude summaga ilma topeltta

mis tahes nende külgede korrutis selle lõigu järgi teravnurga tipust kõrguseni.

Teoreem. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga

.

Proportsionaalsed jooned ringis.

Teoreem. Kui kõõl ja diameeter tõmmatakse läbi punkti, mis on võetud ringi sees, siis on kõõlu segmentide korrutis võrdne läbimõõdu segmentide korrutisega.

Tagajärg. Kui ringi sees oleva punkti kaudu tõmmatakse suvaline arv akorde, on iga akordi lõikude korrutis kõigi akordide jaoks konstantne arv.

Teoreem. Kui ringjoonest väljapoole võetud punktist tõmmatakse sellele mingi sekant ja puutuja, siis on sekandi ja selle välimise osa korrutis võrdne puutuja ruuduga

.

Autoriõigus © 2005–2013 Xenoid v2.0

Saidi materjalide kasutamine on võimalik juhul, kui on näidatud aktiivne link