Hulknurk on kinnise katkendjoonega piiratud tasapinna osa. Hulknurga nurki tähistavad polüliini tippude punktid. Hulknurga nurgatipud ja hulknurga tipud on kongruentsed punktid.

Definitsioon. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed.

Parallelogrammi omadused

1. Vastasküljed on võrdsed.
Joonisel fig. üksteist AB = CD; eKr = AD.

2. Vastasnurgad on võrdsed (kaks teravnurka ja kaks nürinurka).
Joonisel fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonaalid (kahte vastandlikku tippu ühendavad sirglõigud) lõikuvad ja lõikepunkt jagatakse pooleks.

Joonisel fig. 11 segmenti AO = OC; BO = OD.

Definitsioon. Trapets on nelinurk, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitte.

Paralleelsed küljed helistas talle põhjustel ja ülejäänud kaks külge küljed.

Trapetsi tüübid

1. Trapets mille küljed ei ole võrdsed,
helistas mitmekülgne(joonis 12).

2. Nimetatakse trapetsi, mille küljed on võrdsed võrdhaarne(joonis 13).

3. Nimetatakse trapets, mille üks külg moodustab alustega täisnurga ristkülikukujuline(joonis 14).

Trapetsi külgede keskpunkte ühendavat lõiku (joon. 15) nimetatakse trapetsi keskjooneks ( MN). Trapetsi keskjoon on alustega paralleelne ja võrdne poolega nende summast.

Trapetsi võib nimetada kärbitud kolmnurgaks (joon. 17), seepärast on trapetside nimetused sarnased kolmnurkade nimedega (kolmnurgad on skaala, võrdhaarsed, ristkülikukujulised).

Rööpküliku ja trapetsi pindala

Reegel. Paralleelogrammi ala on võrdne selle külje korrutisega sellele küljele tõmmatud kõrgusega.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Sellise vormiga nagu trapets kohtame elus üsna tihti. Näiteks mis tahes betoonplokkidest sild on suurepärane näide. Visuaalsemaks võimaluseks võib pidada iga sõiduki juhtimist ja nii edasi. Figuuri omadused olid teada juba aastal Vana-Kreeka , mida kirjeldas üksikasjalikumalt Aristoteles oma teaduslik töö"Alusta". Ja tuhandeid aastaid tagasi välja töötatud teadmised on aktuaalsed ka tänapäeval. Seetõttu tutvume nendega lähemalt.

Kokkupuutel

Põhimõisted

Joonis 1. Trapetsi klassikaline kuju.

Trapets on sisuliselt nelinurk, mis koosneb kahest paralleelsest segmendist ja kahest teisest mitteparalleelsest segmendist. Sellest joonisest rääkides on alati vaja meeles pidada selliseid mõisteid nagu: alused, kõrgus ja keskmine joon. Kaks nelinurga lõiku, mida nimetatakse üksteise suhtes alusteks (segmendid AD ja BC). Kõrgust nimetatakse lõiguks, mis on risti iga aluse suhtes (EH), st. lõikuvad 90° nurga all (nagu on näidatud joonisel 1).

Kui liidame kõik sisemise astme mõõtmed, võrdub trapetsi nurkade summa 2π (360 °), nagu iga nelinurk. Lõik, mille otsad on külgseinte keskpunktid (IF) nimetatakse keskjooneks. Selle lõigu pikkus on aluste BC ja AD summa jagatud 2-ga.

Neid on kolme tüüpi geomeetriline kujund: sirge, korrapärane ja võrdhaarne. Kui vähemalt üks nurk aluse tippudes on õige (näiteks kui ABD = 90 °), siis nimetatakse sellist nelinurka parempoolseks trapetsiks. Kui külgsegmendid on võrdsed (AB ja CD), siis nimetatakse seda võrdhaarseks (vastavalt on nurgad alustel võrdsed).

Kuidas piirkonda leida

jaoks, nelinurga pindala leidmiseks ABCD kasutage järgmist valemit:

Joonis 2. Ala leidmise ülesande lahendamine

Lisateabe saamiseks hea näide Lahendame lihtsa probleemi. Näiteks olgu ülemine ja alumine põhi võrdsed vastavalt 16 ja 44 cm ning küljed 17 ja 25 cm Ehitame tipust D risti lõigu nii, et DE II BC (nagu on näidatud joonisel 2). Seetõttu saame selle kätte

Las DF - saab olema. ΔADE-st (mis on võrdkülgne) saame järgmise:

See tähendab, et väljendada selge keel, leidsime kõigepealt kõrguse ΔADE, mis on ka trapetsi kõrgus. Siit arvutame juba teadaoleva valemi abil nelinurga ABCD pindala juba teadaoleva kõrguse DF väärtusega.

Seega on soovitud pindala ABCD 450 cm³. See tähendab, et võib kindlalt väita, et Trapetsi pindala arvutamiseks vajate ainult aluste ja kõrguse pikkuse summat.

Tähtis!Ülesande lahendamisel ei ole vaja pikkuste väärtusi eraldi leida, see on täiesti võimalik, kui rakendada muid joonise parameetreid, mis vastava tõestuse korral on võrdsed aluste summaga.

Trapetsi tüübid

Olenevalt sellest, millised küljed joonisel on, millised nurgad on moodustatud alustel, on nelinurki kolme tüüpi: ristkülikukujuline, külgne ja võrdkülgne.

Mitmekülgne

On kaks vormi: äge ja nüri. ABCD on terav ainult siis, kui aluse nurgad (AD) on teravad ja küljepikkused erinevad. Kui ühe nurga väärtus on arv Pi / 2 rohkem (kraadimõõt on suurem kui 90 °), saame nürinurga.

Kui küljed on võrdse pikkusega

Joonis 3. Võrdhaarse trapetsi vaade

Kui mitteparalleelsed küljed on võrdse pikkusega, nimetatakse ABCD-d võrdhaarseteks (õigeteks). Pealegi on sellise nelinurga puhul nurkade aste aluse juures sama, nende nurk on alati parempoolsest väiksem. Just sel põhjusel ei jaotata võrdhaarseid kunagi ägedateks ja nürideks. Selle kujuga nelinurgal on oma spetsiifilised erinevused, mille hulka kuuluvad:

1. Vastastippe ühendavad segmendid on võrdsed.
2. Suurema põhjaga teravnurgad on 45 ° (illustreeriv näide joonisel 3).
3. Kui lisate vastasnurkade kraadid, annavad need kokku 180 °.
4. Iga tavalise trapetsi ümber võib ehitada.
5. Kui lisada vastandnurkade kraadimõõt, on see võrdne π-ga.

Pealegi on nende punktide geomeetrilise paigutuse tõttu olemas Võrdhaarse trapetsi põhiomadused:

Nurga väärtus aluses 90°

Aluse külje risti - mahukas omadus mõiste "ristkülikukujuline trapets". Ei saa olla kahte külge, mille põhjas on nurgad, sest muidu on see juba ristkülik. Seda tüüpi nelinurkades moodustab teine ​​külg alati suure põhjaga teravnurga ja väiksemaga - nüri. Sel juhul on risti külg ka kõrgus.

Segment külgseinte keskosa vahel

Kui ühendame külgede keskpunktid ja saadud segment on alustega paralleelne ja pikkuselt võrdne poolega nende summast, siis moodustub sirgjoon saab olema keskmine joon. Selle kauguse väärtus arvutatakse järgmise valemi abil:

Illustreerivama näite jaoks kaaluge keskmist joont kasutavat probleemi.

Ülesanne. Trapetsi keskjoon on 7 cm, on teada, et üks külg on teisest 4 cm suurem (joon. 4). Leidke aluste pikkused.

Joonis 4. Alusepikkuste leidmise ülesande lahendamine

Lahendus. Olgu alalisvoolu väiksem alus võrdne x cm, siis suurem alus võrdub vastavalt (x + 4) cm. Siit trapetsi keskjoone valemit kasutades saame:

Selgub, et alalisvoolu väiksem alus on 5 cm ja suurem 9 cm.

Tähtis! Keskjoone kontseptsioon on paljude geomeetriaprobleemide lahendamise võti. Selle definitsiooni põhjal koostatakse palju tõendeid teistele arvudele. Kontseptsiooni praktikas kasutades on võimalik ratsionaalsem lahendus ja vajaliku väärtuse otsimine.

Kõrguse määramine ja selle leidmine

Nagu varem märgitud, on kõrgus segment, mis lõikub alustega 2Pi / 4 nurga all ja on nende vaheline lühim vahemaa. Enne trapetsi kõrguse leidmist on vaja kindlaks määrata, millised sisendväärtused on antud. Parema mõistmise huvides kaaluge probleemi. Leidke trapetsi kõrgus eeldusel, et alused on vastavalt 8 ja 28 cm, küljed vastavalt 12 ja 16 cm.

Joonis 5. Trapetsi kõrguse leidmise ülesande lahendamine

Joonistame aluse AD suhtes täisnurga all lõigud DF ja CH, millest igaüks on definitsiooni kohaselt antud trapetsi kõrgus (joonis 5). Sel juhul, teades iga külgseina pikkust, leiame Pythagorase teoreemi abil, milline on kolmnurkade AFD ja BHC kõrgus.

Segmentide AF ja HB summa võrdub aluste erinevusega, st:

Olgu AF pikkus võrdne x cm, siis lõigu HB pikkus = (20 - x) cm. Nagu tehti kindlaks, DF=CH, seega .

Siis saame järgmise võrrandi:

Selgub, et kolmnurga AFD segment AF on 7,2 cm, siit arvutame sama Pythagorase teoreemi abil trapetsi DF kõrguse:

Need. ADCB trapetsi kõrgus on 9,6 cm Nagu näete, on kõrguse arvutamine mehaanilisem protsess ja põhineb kolmnurkade külgede ja nurkade arvutustel. Kuid paljudes geomeetriaprobleemides saab teada ainult nurkade astmeid, sel juhul tehakse arvutused sisemiste kolmnurkade külgede suhte kaudu.

Tähtis! Sisuliselt peetakse trapetsi sageli kaheks kolmnurgaks või ristküliku ja kolmnurga kombinatsiooniks. Et lahendada 90% kõigist probleemidest, mis ilmnesid kooliõpikud, nende kujundite omadused ja märgid. Enamik selle GMT valemeid on tuletatud nende kahte tüüpi arvude "mehhanismide" alusel.

Kuidas kiiresti aluse pikkust arvutada

Enne trapetsi aluse leidmist peate kindlaks määrama, millised parameetrid on juba antud ja kuidas neid ratsionaalselt kasutada. Praktiline lähenemine on tundmatu aluse pikkuse eraldamine keskjoone valemist. Pildi selgemaks tajumiseks näitame ülesande näitel, kuidas seda teha. Anna teada, et trapetsi keskjoon on 7 cm ja üks alustest on 10 cm Leia teise aluse pikkus.

Lahendus: Teades, et keskjoon on võrdne poolega aluste summast, võib väita, et nende summa on 14 cm.

(14cm=7cm×2). Ülesande tingimusest teame, et üks neist on 10 cm, seega on trapetsi väiksem külg 4 cm (4 cm = 14–10).

Veelgi enam, seda tüüpi probleemide mugavamaks lahendamiseks soovitame trapetsipiirkonnast hästi selgeks õppida sellised valemid nagu:

• keskmine joon;
• ruut;
• kõrgus;
• diagonaalid.

Teades nende arvutuste olemust (täpselt olemust), saate soovitud väärtuse hõlpsalt teada.

Video: trapets ja selle omadused

Video: trapetsikujulised omadused

Järeldus

Vaadeldavate ülesannete näidete põhjal saame teha lihtsa järelduse, et trapets on ülesannete arvutamise seisukohalt üks lihtsamaid kujundeid geomeetrias. Ülesannete edukaks lahendamiseks ei pea esiteks otsustama, milline teave kirjeldatava objekti kohta on teada, millistes valemites saab neid rakendada ja otsustada, mida on vaja leida. Selle lihtsa algoritmi täitmisel ei ole ükski seda geomeetrilist kujundit kasutav ülesanne lihtne.

Selles artiklis püüame võimalikult täielikult kajastada trapetsi omadusi. Eelkõige räägime trapetsi üldistest märkidest ja omadustest, samuti trapetsi ja trapetsi sisse kirjutatud ringi omadustest. Samuti käsitleme võrdhaarse ja ristkülikukujulise trapetsi omadusi.

Näide probleemi lahendamisest vaadeldavate omaduste abil aitab teil asjad oma peas korda ajada ja materjali paremini meelde jätta.

Trapets ja kõik-kõik-kõik

Alustuseks tuletagem lühidalt meelde, mis on trapets ja millised muud mõisted on sellega seotud.

Niisiis, trapets on nelinurkne kujund, mille kaks külge on üksteisega paralleelsed (need on alused). Ja kaks pole paralleelsed – need on küljed.

Trapetsis võib kõrguse ära jätta – risti alustega. Joonistatakse keskmine joon ja diagonaalid. Ja ka trapetsi mis tahes nurga alt on võimalik joonistada poolitaja.

Kõigi nende elementidega seotud erinevatest omadustest ja nende kombinatsioonidest räägime nüüd.

Trapetsi diagonaalide omadused

Selguse huvides visandage lugemise ajal paberile ACME trapets ja joonistage sellesse diagonaalid.

1. Kui leiate iga diagonaali (nimetame neid punkte X ja T) keskpunktid ja ühendate need, saate lõigu. Üks trapetsi diagonaalide omadusi on see, et segment XT asub keskjoonel. Ja selle pikkuse saab, jagades aluste erinevuse kahega: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Meie ees on sama ACME trapets. Diagonaalid lõikuvad punktis O. Vaatleme kolmnurki AOE ja IOC, mis on moodustatud diagonaalide lõikudest koos trapetsi alustega. Need kolmnurgad on sarnased. K kolmnurga sarnasuskordaja väljendatakse trapetsi aluste suhtena: k = AE/KM.
   Kolmnurkade AOE ja IOC pindalade suhet kirjeldab koefitsient k 2 .
3. Kõik samad trapetsid, samad diagonaalid, mis lõikuvad punktis O. Ainult seekord vaatleme kolmnurki, mille diagonaallõigud moodustasid koos trapetsi külgedega. Kolmnurkade AKO ja EMO pindalad on võrdsed – nende pindalad on samad.
4. Teine trapetsi omadus hõlmab diagonaalide ehitamist. Seega, kui jätkata AK ja ME külgi väiksema aluse suunas, siis varem või hiljem need mingisse punkti ristuvad. Järgmisena tõmmake sirgjoon läbi trapetsi aluste keskpunktide. See lõikub alustega punktides X ja T.
   Kui nüüd sirget XT pikendada, siis ühendab see trapetsi O diagonaalide lõikepunkti, punkti, kus ristuvad X ja T külgede pikendused ning aluste keskpunktid.
5. Läbi diagonaalide lõikepunkti joonistame segmendi, mis ühendab trapetsi alused (T asub KM väiksemal alusel, X - suuremal AE). Diagonaalide lõikepunkt jagab selle lõigu järgmises suhtes: TO/OH = KM/AE.
6. Ja nüüd joonistame läbi diagonaalide lõikepunkti trapetsi (a ja b) alustega paralleelse segmendi. Lõikepunkt jagab selle kaheks võrdseks osaks. Segmendi pikkuse leiate valemi abil 2ab/(a + b).

Trapetsi keskjoone omadused

Tõmmake trapetsi keskjoon paralleelselt selle alustega.

1. Trapetsi keskjoone pikkuse saab arvutada, liites aluste pikkused ja jagades need pooleks: m = (a + b)/2.
2. Kui tõmbate mis tahes lõigu (näiteks kõrguse) läbi trapetsi mõlema aluse, jagab keskmine joon selle kaheks võrdseks osaks.

Trapetsi poolitaja omadus

Valige trapetsi suvaline nurk ja joonistage poolitaja. Võtke näiteks meie trapetsi ACME nurk KAE. Olles ise ehituse lõpetanud, näete hõlpsalt, et poolitaja lõikab alusest (või selle jätkust sirgjoonel väljaspool joonist ennast) ära küljega sama pikkuse segmendi.

Trapetsi nurga omadused

1. Ükskõik kumma kahest nurgapaarist, mis külgnevad teie valitud küljega, on paari nurkade summa alati 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
2. Ühendage trapetsi aluste keskpunktid segmendiga TX. Nüüd vaatame trapetsi aluste nurki. Kui mõne neist nurkade summa on 90 0, on TX segmendi pikkust lihtne arvutada aluste pikkuste erinevuse põhjal, mis on jagatud pooleks: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Kui trapetsi nurga külgede kaudu tõmmatakse paralleelsed jooned, jagavad need nurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

Võrdhaarse (võrdhaarse) trapetsi omadused

1. Võrdhaarse trapetsi korral on nurgad mis tahes aluse juures võrdsed.
2. Nüüd ehitage uuesti trapets, et oleks lihtsam ette kujutada, millega tegu. Vaata hoolikalt AE alust – M-i vastasaluse tipp projitseeritakse AE-d sisaldava sirge teatud punkti. Vahemaa tipust A tipu M projektsioonipunktini ja võrdhaarse trapetsi keskjooneni on võrdsed.
3. Paar sõna võrdhaarse trapetsi diagonaalide omaduste kohta - nende pikkused on võrdsed. Ja ka nende diagonaalide kaldenurgad trapetsi aluse suhtes on samad.
4. Ringi saab kirjeldada ainult võrdhaarse trapetsi lähedal, kuna nelinurga vastasnurkade summa on 180 0 - nõutav tingimus selle jaoks.
5. Võrdhaarse trapetsi omadus tuleneb eelmisest lõigust – kui trapetsi läheduses saab kirjeldada ringjoont, on see võrdhaarne.
6. Võrdhaarse trapetsi tunnustest tuleneb trapetsi kõrguse omadus: kui selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, siis kõrguse pikkus võrdub poolega aluste summast: h = (a + b)/2.
7. Tõmmake joon TX uuesti läbi trapetsi aluste keskpunktide - võrdhaarses trapetsis on see alustega risti. Ja samal ajal on TX võrdhaarse trapetsi sümmeetriatelg.
8. Seekord madalamale suuremale alusele (nimetagem seda a) kõrgusele trapetsi vastastipust. Saate kaks lõiget. Ühe pikkuse saab, kui liita aluste pikkused ja jagada need pooleks: (a+b)/2. Teise saame, kui lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame saadud erinevuse kahega: (a – b)/2.

Ringjoone sisse kirjutatud trapetsi omadused

Kuna me räägime juba ringi sisse kirjutatud trapetsist, peatume sellel teemal üksikasjalikumalt. Täpsemalt, kus on ringi keskpunkt trapetsi suhtes. Ka siin on soovitatav mitte olla liiga laisk, et võtta kätte pliiats ja joonistada seda, millest allpool juttu tuleb. Nii saate kiiremini aru ja mäletate paremini.

1. Ringi keskpunkti asukoha määrab trapetsi diagonaali kaldenurk selle külje suhtes. Näiteks võib trapetsi tipust küljega täisnurga all välja tulla diagonaal. Sel juhul lõikub suurem alus piiritletud ringi keskpunktiga täpselt keskel (R = ½AE).
2. Diagonaal ja külg võivad all kokku puutuda teravnurk- siis on ringi keskpunkt trapetsi sees.
3. Piiratud ringi keskpunkt võib olla väljaspool trapetsi, selle suurest alusest kaugemal, kui trapetsi diagonaali ja külgmise külje vahel on nürinurk.
4. Trapetsi ACME diagonaali ja suure aluse (sissekirjutatud nurk) moodustatud nurk on pool sellele vastavast kesknurgast: MAE = ½ MY.
5. Lühidalt kahest võimalusest piiritletud ringi raadiuse leidmiseks. Esimene meetod: vaadake hoolikalt oma joonist – mida näete? Märkate kergesti, et diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks. Raadiuse saab leida kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhte kaudu, mis on korrutatud kahega. Näiteks, R \u003d AE / 2 * sinAME. Samamoodi saab valemi kirjutada mõlema kolmnurga mis tahes külje jaoks.
6. Teine meetod: leiame piiritletud ringi raadiuse läbi trapetsi diagonaali, külje ja aluse moodustatud kolmnurga pindala: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ümberringi ümbritsetud trapetsi omadused

Kui üks tingimus on täidetud, saate trapetsis ringi kirjutada. Sellest lähemalt allpool. Ja koos on sellel figuuride kombinatsioonil mitmeid huvitavaid omadusi.

1. Kui ringjoon on kantud trapetsi, saab selle keskjoone pikkuse hõlpsalt leida, liites külgede pikkused ja jagades saadud summa pooleks: m = (c + d)/2.
2. Ümberringi ümbritsetud trapetsi ACME puhul on aluste pikkuste summa võrdne külgede pikkuste summaga: AK + ME = KM + AE.
3. Sellest trapetsi aluste omadusest järeldub vastupidine väide: sellesse trapetsi saab kirjutada ringi, mille aluste summa on võrdne külgede summaga.
4. Trapetsi raadiusega r ringjoone puutujapunkt jagab külgkülje kaheks segmendiks, nimetame neid a-ks ja b-ks. Ringi raadiuse saab arvutada järgmise valemi abil: r = √ab.
5. Ja veel üks vara. Et mitte segadusse sattuda, joonistage see näide ise. Meil on vana hea ACME trapets, mis on ümbritsetud ringiga. Sellesse on joonistatud diagonaalid, mis ristuvad punktis O. Diagonaalide ja külgede lõikudest moodustatud kolmnurgad AOK ja EOM on ristkülikukujulised.
   Nende kolmnurkade kõrgused, mis on langetatud hüpotenuusideni (st trapetsi külgedeni), langevad kokku kirjutatud ringi raadiustega. Ja trapetsi kõrgus on sama, mis sisse kirjutatud ringi läbimõõt.

Ristkülikukujulise trapetsi omadused

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, mille üks nurk on õige. Ja selle omadused tulenevad sellest asjaolust.

1. Ristkülikukujulise trapetsi üks külgedest on alustega risti.
2. Täisnurgaga külgneva trapetsi kõrgus ja külg on võrdsed. See võimaldab teil arvutada ristkülikukujulise trapetsi pindala ( üldine valem S = (a + b) * h/2) mitte ainult läbi kõrguse, vaid ka läbi õige nurgaga külgneva külje.
3. Ristkülikukujulise trapetsi puhul on olulised juba eespool kirjeldatud trapetsi diagonaalide üldised omadused.

Trapetsi mõningate omaduste tõendid

Võrdhaarse trapetsi aluse nurkade võrdsus:

• Tõenäoliselt arvasite juba, et siin on jälle vaja ACME trapetsi - joonistage võrdhaarne trapets. Tõmmake tipust M paralleelselt AK küljega sirge MT (MT || AK).

Saadud nelinurk AKMT on rööpkülik (AK || MT, KM || AT). Kuna ME = KA = MT, on ∆ MTE võrdhaarne ja MET = MTE.

AK || MT, seega MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kus AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nüüd, tuginedes võrdhaarse trapetsi omadusele (diagonaalide võrdsus), tõestame, et trapets ACME on võrdhaarne:

• Alustuseks tõmbame sirge МХ – МХ || KE. Saame rööpküliku KMHE (alus - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on võrdhaarne, kuna AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, seega MAE = MXE.

Selgus, et kolmnurgad AKE ja EMA on üksteisega võrdsed, kuna AM \u003d KE ja AE on kahe kolmnurga ühine külg. Ja ka MAE \u003d MXE. Võime järeldada, et AK = ME ja sellest järeldub, et trapets AKME on võrdhaarne.

Ülesanne kordamiseks

Trapetsi ACME alused on 9 cm ja 21 cm, KA külg, mis on võrdne 8 cm, moodustab väiksema põhjaga nurga 150 0. Peate leidma trapetsi pindala.

Lahendus: tipust K alandame kõrguse trapetsi suuremale alusele. Ja alustame trapetsi nurkade vaatamist.

Nurgad AEM ja KAN on ühepoolsed. Mis tähendab, et nende arv on 1800. Seetõttu KAN = 30 0 (trapetsi nurkade omaduse alusel).

Mõelge nüüd ristkülikukujulisele ∆ANK-ile (ma arvan, et see punkt on lugejatele ilmne ilma täiendava tõestuseta). Sellest leiame trapetsi kõrguse KH - kolmnurgas on see jalg, mis asub nurga 30 0 vastas. Seetõttu KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapetsi pindala leitakse valemiga: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Järelsõna

Kui uurisite seda artiklit hoolikalt ja läbimõeldult, polnud liiga laisk, et joonistada käes pliiatsiga kõigi ülaltoodud omaduste jaoks trapetsi ja neid praktikas analüüsida, oleksite pidanud materjali hästi valdama.

Loomulikult on siin palju teavet, mitmekülgset ja mõnikord isegi segadust: kirjeldatud trapetsi omadusi pole nii raske segi ajada sissekirjutatud omadustega. Aga sa ise nägid, et vahe on tohutu.

Nüüd on teil üksikasjalik kokkuvõte kõigist trapetsi üldistest omadustest. Nagu ka võrdhaarsete ja ristkülikukujuliste trapetside spetsiifilised omadused ja tunnused. Seda on väga mugav kasutada katseteks ja eksamiteks valmistumiseks. Proovi ise ja jaga linki oma sõpradega!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Selles artiklis püüame võimalikult täielikult kajastada trapetsi omadusi. Eelkõige räägime trapetsi üldistest märkidest ja omadustest, samuti trapetsi ja trapetsi sisse kirjutatud ringi omadustest. Samuti käsitleme võrdhaarse ja ristkülikukujulise trapetsi omadusi.

Näide probleemi lahendamisest vaadeldavate omaduste abil aitab teil asjad oma peas korda ajada ja materjali paremini meelde jätta.

Trapets ja kõik-kõik-kõik

Alustuseks tuletagem lühidalt meelde, mis on trapets ja millised muud mõisted on sellega seotud.

Niisiis, trapets on nelinurkne kujund, mille kaks külge on üksteisega paralleelsed (need on alused). Ja kaks pole paralleelsed – need on küljed.

Trapetsis võib kõrguse ära jätta – risti alustega. Joonistatakse keskmine joon ja diagonaalid. Ja ka trapetsi mis tahes nurga alt on võimalik joonistada poolitaja.

Kõigi nende elementidega seotud erinevatest omadustest ja nende kombinatsioonidest räägime nüüd.

Trapetsi diagonaalide omadused

Selguse huvides visandage lugemise ajal paberile ACME trapets ja joonistage sellesse diagonaalid.

1. Kui leiate iga diagonaali (nimetame neid punkte X ja T) keskpunktid ja ühendate need, saate lõigu. Üks trapetsi diagonaalide omadusi on see, et segment XT asub keskjoonel. Ja selle pikkuse saab, jagades aluste erinevuse kahega: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Meie ees on sama ACME trapets. Diagonaalid lõikuvad punktis O. Vaatleme kolmnurki AOE ja IOC, mis on moodustatud diagonaalide lõikudest koos trapetsi alustega. Need kolmnurgad on sarnased. K kolmnurga sarnasuskordaja väljendatakse trapetsi aluste suhtena: k = AE/KM.
   Kolmnurkade AOE ja IOC pindalade suhet kirjeldab koefitsient k 2 .
3. Kõik samad trapetsid, samad diagonaalid, mis lõikuvad punktis O. Ainult seekord vaatleme kolmnurki, mille diagonaallõigud moodustasid koos trapetsi külgedega. Kolmnurkade AKO ja EMO pindalad on võrdsed – nende pindalad on samad.
4. Teine trapetsi omadus hõlmab diagonaalide ehitamist. Seega, kui jätkata AK ja ME külgi väiksema aluse suunas, siis varem või hiljem need mingisse punkti ristuvad. Järgmisena tõmmake sirgjoon läbi trapetsi aluste keskpunktide. See lõikub alustega punktides X ja T.
   Kui nüüd sirget XT pikendada, siis ühendab see trapetsi O diagonaalide lõikepunkti, punkti, kus ristuvad X ja T külgede pikendused ning aluste keskpunktid.
5. Läbi diagonaalide lõikepunkti joonistame segmendi, mis ühendab trapetsi alused (T asub KM väiksemal alusel, X - suuremal AE). Diagonaalide lõikepunkt jagab selle lõigu järgmises suhtes: TO/OH = KM/AE.
6. Ja nüüd joonistame läbi diagonaalide lõikepunkti trapetsi (a ja b) alustega paralleelse segmendi. Lõikepunkt jagab selle kaheks võrdseks osaks. Segmendi pikkuse leiate valemi abil 2ab/(a + b).

Trapetsi keskjoone omadused

Tõmmake trapetsi keskjoon paralleelselt selle alustega.

1. Trapetsi keskjoone pikkuse saab arvutada, liites aluste pikkused ja jagades need pooleks: m = (a + b)/2.
2. Kui tõmbate mis tahes lõigu (näiteks kõrguse) läbi trapetsi mõlema aluse, jagab keskmine joon selle kaheks võrdseks osaks.

Trapetsi poolitaja omadus

Valige trapetsi suvaline nurk ja joonistage poolitaja. Võtke näiteks meie trapetsi ACME nurk KAE. Olles ise ehituse lõpetanud, näete hõlpsalt, et poolitaja lõikab alusest (või selle jätkust sirgjoonel väljaspool joonist ennast) ära küljega sama pikkuse segmendi.

Trapetsi nurga omadused

1. Ükskõik kumma kahest nurgapaarist, mis külgnevad teie valitud küljega, on paari nurkade summa alati 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
2. Ühendage trapetsi aluste keskpunktid segmendiga TX. Nüüd vaatame trapetsi aluste nurki. Kui mõne neist nurkade summa on 90 0, on TX segmendi pikkust lihtne arvutada aluste pikkuste erinevuse põhjal, mis on jagatud pooleks: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Kui trapetsi nurga külgede kaudu tõmmatakse paralleelsed jooned, jagavad need nurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

Võrdhaarse (võrdhaarse) trapetsi omadused

1. Võrdhaarse trapetsi korral on nurgad mis tahes aluse juures võrdsed.
2. Nüüd ehitage uuesti trapets, et oleks lihtsam ette kujutada, millega tegu. Vaata hoolikalt AE alust – M-i vastasaluse tipp projitseeritakse AE-d sisaldava sirge teatud punkti. Vahemaa tipust A tipu M projektsioonipunktini ja võrdhaarse trapetsi keskjooneni on võrdsed.
3. Paar sõna võrdhaarse trapetsi diagonaalide omaduste kohta - nende pikkused on võrdsed. Ja ka nende diagonaalide kaldenurgad trapetsi aluse suhtes on samad.
4. Ringjoont saab kirjeldada ainult võrdhaarse trapetsi lähedal, kuna selle eelduseks on nelinurga vastasnurkade summa 180 0.
5. Võrdhaarse trapetsi omadus tuleneb eelmisest lõigust – kui trapetsi läheduses saab kirjeldada ringjoont, on see võrdhaarne.
6. Võrdhaarse trapetsi tunnustest tuleneb trapetsi kõrguse omadus: kui selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, siis kõrguse pikkus võrdub poolega aluste summast: h = (a + b)/2.
7. Tõmmake joon TX uuesti läbi trapetsi aluste keskpunktide - võrdhaarses trapetsis on see alustega risti. Ja samal ajal on TX võrdhaarse trapetsi sümmeetriatelg.
8. Seekord madalamale suuremale alusele (nimetagem seda a) kõrgusele trapetsi vastastipust. Saate kaks lõiget. Ühe pikkuse saab, kui liita aluste pikkused ja jagada need pooleks: (a+b)/2. Teise saame, kui lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame saadud erinevuse kahega: (a – b)/2.

Ringjoone sisse kirjutatud trapetsi omadused

Kuna me räägime juba ringi sisse kirjutatud trapetsist, peatume sellel teemal üksikasjalikumalt. Täpsemalt, kus on ringi keskpunkt trapetsi suhtes. Ka siin on soovitatav mitte olla liiga laisk, et võtta kätte pliiats ja joonistada seda, millest allpool juttu tuleb. Nii saate kiiremini aru ja mäletate paremini.

1. Ringi keskpunkti asukoha määrab trapetsi diagonaali kaldenurk selle külje suhtes. Näiteks võib trapetsi tipust küljega täisnurga all välja tulla diagonaal. Sel juhul lõikub suurem alus piiritletud ringi keskpunktiga täpselt keskel (R = ½AE).
2. Diagonaal ja külg võivad kohtuda ka teravnurga all – siis on ringi keskpunkt trapetsi sees.
3. Piiratud ringi keskpunkt võib olla väljaspool trapetsi, selle suurest alusest kaugemal, kui trapetsi diagonaali ja külgmise külje vahel on nürinurk.
4. Trapetsi ACME diagonaali ja suure aluse (sissekirjutatud nurk) moodustatud nurk on pool sellele vastavast kesknurgast: MAE = ½ MY.
5. Lühidalt kahest võimalusest piiritletud ringi raadiuse leidmiseks. Esimene meetod: vaadake hoolikalt oma joonist – mida näete? Märkate kergesti, et diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks. Raadiuse saab leida kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhte kaudu, mis on korrutatud kahega. Näiteks, R \u003d AE / 2 * sinAME. Samamoodi saab valemi kirjutada mõlema kolmnurga mis tahes külje jaoks.
6. Teine meetod: leiame piiritletud ringi raadiuse läbi trapetsi diagonaali, külje ja aluse moodustatud kolmnurga pindala: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ümberringi ümbritsetud trapetsi omadused

Kui üks tingimus on täidetud, saate trapetsis ringi kirjutada. Sellest lähemalt allpool. Ja koos on sellel figuuride kombinatsioonil mitmeid huvitavaid omadusi.

1. Kui ringjoon on kantud trapetsi, saab selle keskjoone pikkuse hõlpsalt leida, liites külgede pikkused ja jagades saadud summa pooleks: m = (c + d)/2.
2. Ümberringi ümbritsetud trapetsi ACME puhul on aluste pikkuste summa võrdne külgede pikkuste summaga: AK + ME = KM + AE.
3. Sellest trapetsi aluste omadusest järeldub vastupidine väide: sellesse trapetsi saab kirjutada ringi, mille aluste summa on võrdne külgede summaga.
4. Trapetsi raadiusega r ringjoone puutujapunkt jagab külgkülje kaheks segmendiks, nimetame neid a-ks ja b-ks. Ringi raadiuse saab arvutada järgmise valemi abil: r = √ab.
5. Ja veel üks vara. Et mitte segadusse sattuda, joonistage see näide ise. Meil on vana hea ACME trapets, mis on ümbritsetud ringiga. Sellesse on joonistatud diagonaalid, mis ristuvad punktis O. Diagonaalide ja külgede lõikudest moodustatud kolmnurgad AOK ja EOM on ristkülikukujulised.
   Nende kolmnurkade kõrgused, mis on langetatud hüpotenuusideni (st trapetsi külgedeni), langevad kokku kirjutatud ringi raadiustega. Ja trapetsi kõrgus on sama, mis sisse kirjutatud ringi läbimõõt.

Ristkülikukujulise trapetsi omadused

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, mille üks nurk on õige. Ja selle omadused tulenevad sellest asjaolust.

1. Ristkülikukujulise trapetsi üks külgedest on alustega risti.
2. Täisnurgaga külgneva trapetsi kõrgus ja külg on võrdsed. See võimaldab teil arvutada ristkülikukujulise trapetsi pindala (üldvalem S = (a + b) * h/2) mitte ainult läbi kõrguse, vaid ka läbi õige nurgaga külgneva külje.
3. Ristkülikukujulise trapetsi puhul on olulised juba eespool kirjeldatud trapetsi diagonaalide üldised omadused.

Trapetsi mõningate omaduste tõendid

Võrdhaarse trapetsi aluse nurkade võrdsus:

• Tõenäoliselt arvasite juba, et siin on jälle vaja ACME trapetsi - joonistage võrdhaarne trapets. Tõmmake tipust M paralleelselt AK küljega sirge MT (MT || AK).

Saadud nelinurk AKMT on rööpkülik (AK || MT, KM || AT). Kuna ME = KA = MT, on ∆ MTE võrdhaarne ja MET = MTE.

AK || MT, seega MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kus AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nüüd, tuginedes võrdhaarse trapetsi omadusele (diagonaalide võrdsus), tõestame, et trapets ACME on võrdhaarne:

• Alustuseks tõmbame sirge МХ – МХ || KE. Saame rööpküliku KMHE (alus - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on võrdhaarne, kuna AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, seega MAE = MXE.

Selgus, et kolmnurgad AKE ja EMA on üksteisega võrdsed, kuna AM \u003d KE ja AE on kahe kolmnurga ühine külg. Ja ka MAE \u003d MXE. Võime järeldada, et AK = ME ja sellest järeldub, et trapets AKME on võrdhaarne.

Ülesanne kordamiseks

Trapetsi ACME alused on 9 cm ja 21 cm, KA külg, mis on võrdne 8 cm, moodustab väiksema põhjaga nurga 150 0. Peate leidma trapetsi pindala.

Lahendus: tipust K alandame kõrguse trapetsi suuremale alusele. Ja alustame trapetsi nurkade vaatamist.

Nurgad AEM ja KAN on ühepoolsed. Mis tähendab, et nende arv on 1800. Seetõttu KAN = 30 0 (trapetsi nurkade omaduse alusel).

Mõelge nüüd ristkülikukujulisele ∆ANK-ile (ma arvan, et see punkt on lugejatele ilmne ilma täiendava tõestuseta). Sellest leiame trapetsi kõrguse KH - kolmnurgas on see jalg, mis asub nurga 30 0 vastas. Seetõttu KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapetsi pindala leitakse valemiga: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Järelsõna

Kui uurisite seda artiklit hoolikalt ja läbimõeldult, polnud liiga laisk, et joonistada käes pliiatsiga kõigi ülaltoodud omaduste jaoks trapetsi ja neid praktikas analüüsida, oleksite pidanud materjali hästi valdama.

Loomulikult on siin palju teavet, mitmekülgset ja mõnikord isegi segadust: kirjeldatud trapetsi omadusi pole nii raske segi ajada sissekirjutatud omadustega. Aga sa ise nägid, et vahe on tohutu.

Nüüd on teil üksikasjalik kokkuvõte kõigist trapetsi üldistest omadustest. Nagu ka võrdhaarsete ja ristkülikukujuliste trapetside spetsiifilised omadused ja tunnused. Seda on väga mugav kasutada katseteks ja eksamiteks valmistumiseks. Proovi ise ja jaga linki oma sõpradega!

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.